2019版高考数学第7章不等式2第2讲一元二次不等式及其解法教案.docx

第2讲一元二次不等式及其解法1一元一次不等式axb(a0)的解集(1)当a0时，解集为；(2)当a000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc 0)的解集x|x1x0(0(|g(x)|f(x)2g(x)2；(2)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；(3)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集为()A.B.C.D.解析：选B.2x2x30(x1)(2x3)0，解得x或x0的解集为. 不等式0的解集为()A.B.C.1，)D.1，)解析：选A.由不等式0，可得解得0的解集为，则ab的值为_解析：由不等式ax2bx10的解集为，知a0且ax2bx10的两根为x11，x2，由根与系数的关系知所以a3，b2，ab6.答案：6 若不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：因为不等式x2ax40，即a216.所以a4或a3.【解】(1)不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30.方程x22x30的解为x13，x21.而yx22x3的图象开口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1(2)由题意或解得x1.故原不等式的解集为x|x1角度二解含参数的一元二次不等式 (分类讨论思想)解关于x的不等式：12x2axa2(aR)【解】因为12x2axa2，所以12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，0，解集为x|xR，且x0；当a，解集为.综上所述：当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR，且x0；当a0的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_【解析】由题意，知，是方程ax2bx10的两个根，且a0，所以解得即不等式x2bxa0为x25x60，解得x3或x2.【答案】x|x3或x2(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式判断相应方程的根的个数，讨论判别式与0的关系确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 通关练习1(2018陕西西安模拟)若集合A，Bx|x22x，则AB()Ax|0x1Bx|0x1Cx|0x1Dx|0x1解析：选A.因为Ax|0x1，Bx|x22xx|0x2，所以ABx|0x1，故选A.2(2018广东清远一中模拟)关于x的不等式axb0的解集是()A(，1)(3，)B(1，3)C(1，3)D(，1)(3，)解析：选C.关于x的不等式axb0的解集是(1，)，即不等式axb的解集是(1，)，所以ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x3，所以所求解集是(1，3)故选C.3不等式0x2x24的解集为_解析：原不等式等价于即即解得借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3答案：2，1)(2，3一元二次不等式恒成立问题(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度：(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(f(x)0)(xa，b)确定参数的范围；(3)形如f(x)0(f(x)0)(参数ma，b)确定x的范围 典例引领角度一形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围 若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】当a20，即a2时不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a2.所以实数a的取值范围是(2，2【答案】(2，2角度二形如f(x)0(f(x)0)(xa，b)确定参数的范围 (转化与化归思想)若不等式x2mx10对于任意xm，m1都成立，则实数m的取值范围是_【解析】由题意，得函数f(x)x2mx1在m，m1上的最大值小于0，又抛物线f(x)x2mx1开口向上，所以只需即解得m0，|a|1恒成立的x的取值范围【解】将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9，则1a1.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x4.则实数x的取值范围为(，2)(4，)(1)不等式恒成立问题的求解方法一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解一元二次不等式f(x)0在xa，b上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围一元二次不等式对于参数ma，b恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)求解不等式恒成立问题的数学思想求解此类问题常利用分类讨论思想及转化与化归思想，如例22是不等式与函数的转化，例23是主元与次元的转化，而例21是对二次项系数是否为0进行讨论 通关练习1若函数y的定义域为R，则m的取值范围是_解析：要使y有意义，即mx2(1m)xm0对xR恒成立，则解得m.答案：m2若关于x的不等式4x2x1a0在1，2上恒成立，则实数a的取值范围为_解析：因为不等式4x2x1a0在1，2上恒成立，所以4x2x1a在1，2上恒成立令y4x2x1(2x)222x11(2x1)21.因为1x2，所以22x4.由二次函数的性质可知：当2x2，即x1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(，0答案：(，0 解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 易错防范(1)对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形(2)当0(a0)的解集是R还是，要注意区别(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述 1设集合Ax|x2x60，集合B为函数y的定义域，则AB等于()A(1，2)B1，2C1，2)D(1，2解析：选D.Ax|x2x60x|3x2，由x10得x1，即Bx|x1，所以ABx|1x22若不等式ax2bx20的解集为，则的值为()A.B.CD解析：选A.由题意得ax2bx20的两根为与，所以，则11.3不等式0的解集是()Ax|x4Bx|3x4C.D.解析：选C.不等式0，所以不等式的解集是.4若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A1，4B(，25，)C(，14，)D2，5解析：选A.x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4即可，解得1a4.5(2018福建龙岩模拟)已知函数f(x)(ax1)(xb)，若不等式f(x)0的解集是(1，3)，则不等式f(2x)0的解集是(1，3)，故f(x)0的解集是x|x3，故f(2x)0的解集为x|2x3，即.6不等式|x(x2)|x(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0x27函数y的定义域为_解析：由题意，得即解得2x1，即原函数的定义域为x|2x1答案：(2，1)8(2018江西南昌模拟)在R上定义运算：x*yx(1y)若不等式(xy)*(xy)1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是_解析：由题意，知(xy)*(xy)(xy)1(xy)1对一切实数x恒成立，所以x2xy2y10对于xR恒成立故124(1)(y2y1)0，所以4y24y30，解得y0的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax25xa210的解集解：(1)由题意知a0，即2x25x30，解得3x0的解集为.10(2018合肥市第二次教学质量检测)已知函数f(x)(a0)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若当x0，1时，不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围解：(1)要使函数有意义，需4|ax2|0，即|ax2|4，|ax2|44ax242ax6.当a0时，函数f(x)的定义域为；当a0时，函数f(x)的定义域为.(2)f(x)1|ax2|3，记g(x)|ax2|，因为x0，1，所以需且只需1a5，又a0，所以1a5且a0.1已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1，1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A(1，0)B(2，)C(，1)(2，)D不能确定解析：选C.由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)开口向下，所以当x1，1时，f(x)为增函数，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.2(2018陕西咸阳模拟)已知aZ，关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是()A13B18C21D26解析：选C.设f(x)x26xa，其图象为开口向上，对称轴是x3的抛物线，如图所示若关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则即解得5a8，又aZ，故a6，7，8.则所有符合条件的a的值之和是67821.3对于实数x，当且仅当nxn1(nN*)时，xn，则关于x的不等式4x236x450的解集为_解析：由4x236x450，得x，又当且仅当nxn1(nN*)时，xn，所以x2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为2，8)答案：2，8)4不等式x28y2y(xy)对于任意的x，yR恒成立，则实数的取值范围为_解析：因为x28y2y(xy)对于任意的x，yR恒成立，所以x28y2y(xy)0对于任意的x，yR恒成立，即x2yx(8)y20恒成立，由二次不等式的性质可得，2y24(8)y2y2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案：8，45某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解：(1)由题意得y10010