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文档简介

摘要 本文通过建立合适的模型,得以解决以下的三个问题。使得既能节省能源的目的,又能使得学生满意。 问题一 在满足同学的需求下,尽量达到节约用电的目的。以用电量为目标函数,以满足同学的需求为目标函数的约束条件。通过Lingo软件计算求得目标函数的最小值,即用电量最小。最后求得在开放36个教室的情况下,既能满足学生的要求,又能最大的节约用电量。 问题二 由于学生的满意程度尽与宿舍区到自习区的距离有关系,通过距离建立学生的满意度函数, 问题三一 、问题重述近年来,世界各国均有提出节约能源的倡导。而在我国的大学校园,学生上晚自习时存在比较严重的浪费用电的现象。一种情况是去某个教室上自习的人比较少,但是教室内的灯却全部打开,第二种情况是晚上上自习的总人数比较少,但是开放的教室比较多。这要求我们提供一种最有效的方法,最大限度减少用电浪费的情况。以下是针对我国某大学的实际情况提出的问题,我们将运用数学建模的方法,在理论给这个大学提出一个行之有效的节能方法。现在有以下问题:1假如学校有8000名同学,每个同学是否上自习相互独立,上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%,开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放,能达到节约用电的目的. 2假设这8000名同学分别住在10个宿舍区,现有的45个教室分为9个自习区,按顺序5个教室为1个区,即1,2,3,4,5为第1区,41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系,距离近则满意程度高,距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量,并重新考虑如何安排教室,既达到节约用电目的,又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3假设临近期末,上自习的人数突然增多,每个同学上自习的可能性增大为0.85,要使需要上自习的同学满足程度不低于99%,开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要,需要临时搭建几个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区,每个区只能搭建一个教室,搭建的教室与该区某教室的规格相同(所有参数相同),学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室,并搭建在什么位置,既达到节约用电目的,又能提高学生的满意程度.二、模型假设 1、 同学上晚自习的可能性不受外界环境影响。2、 全校8000位同学平均分配到5个宿舍区,即每个宿舍区有1600人。3、 自习区在7点到10点准时开关灯。4、 在晚自习时间,学校没有任何课程。5、 将上晚自习的同学作为理想化个体,不受情绪等因素影响。只选择距离短,满意度高的教室。6、 不考虑停电,教室灯管破损的情况。7、 8000位同学全勤在校,不存在请假状况。8、 如果那个教室被开放,则假设此教室的灯管全部打开。三、符号假设及说明N 表示第i个教室(i=1,2,45)L 表示第i个教室的灯管数量(i=1,2,45)S 表示去第i个教室上自习的学生人数。P 表示第i个教室的灯管的功率(i=1,2,45)。M 表示第i个教室的座位数。Q 表示总用电量。 R 表示第i个宿舍区到第j个自习区的满意度(i=1,2,5 )(j=1,2,9)S 表示第i个宿舍区到第j个自习室的学生数K=T 表示第i个自习区的总座位数。Z 表示在第i自习区自习的学生人数。四、问题分析问题一 由于学校的总人数为8000人,上自习的可能性为0.7,则上自习的总人数为80000.7=5600,而需要上晚自习的同学满足程度不低于95%,则需要的座位为8000=5320,则可得:53205600而在要求被开放的教室的满座率不能低于4/5,同时不超过90%的情况下,有:在满足以上的前提下,建立以下的目标函数和约束条件: minQ=s.t 利用Lingo软件,即可求得最佳答案。X( 1) 0.000000 1680.000 X( 2) 0.000000 1680.000 X( 3) 1.000000 2400.000 X( 4) 1.000000 2400.000 X( 5) 1.000000 1620.000 X( 6) 1.000000 1620.000 X( 7) 1.000000 1728.000 X( 8) 1.000000 1620.000 X( 9) 1.000000 1440.000 X( 10) 1.000000 1620.000 X( 11) 1.000000 1080.000 X( 12) 1.000000 3375.000 X( 13) 1.000000 2304.000 X( 14) 1.000000 2500.000 X( 15) 0.000000 1680.000 X( 16) 0.000000 1680.000 X( 17) 1.000000 2400.000 X( 18) 1.000000 2400.000 X( 19) 1.000000 1620.000 X( 20) 1.000000 1620.000 X( 21) 0.000000 1728.000 X( 22) 1.000000 1620.000 X( 23) 1.000000 1440.000 X( 24) 1.000000 1620.000 X( 25) 1.000000 1080.000 X( 26) 1.000000 3375.000 X( 27) 1.000000 2304.000 X( 28) 1.000000 2500.000 X( 29) 1.000000 2304.000 X( 30) 1.000000 2500.000 X( 31) 1.000000 1440.000 X( 32) 1.000000 1620.000 X( 33) 1.000000 1080.000 X( 34) 1.000000 3375.000 X( 35) 1.000000 2304.000 X( 36) 1.000000 2500.000 X( 37) 1.000000 2304.000 X( 38) 1.000000 2304.000 X( 39) 1.000000 2500.000 X( 40) 1.000000 2304.000 X( 41) 0.000000 2500.000 X( 42) 0.000000 2304.000 X( 43) 1.000000 2304.000 X( 44) 0.000000 1250.000 X( 45) 0.000000 2160.000问题二 对于问题二,我们假设在宿舍区到自习区最近的距离(即305m)时,学生的满意度为1.而随着距离的增加学生的满意程度也随之减少。在只有距离对学生的满意度有影响时,我们可以用反比例函数来近似的表达学生满意度的变化情况。设满意度函数 R=k (k为比例系数,令k=1)即 R=学生的满意程度是由每个开放教室的学生的满意度组成的。其目标函数为 : minZ s.t 0.8TZ0.9T(i=1,2,9) 其中 T=666 T=590 T=781 T=720 T=580 T=1051 T=786 T=1000 T=670 利用Lingo软件求得满意度的最佳解。X( 1, 1) 0.000000 0.3180000 X( 1, 2) 0.000000 0.3490000 X( 1, 3) 606.0000 0.000000 X( 1, 4) 0.000000 0.9800000E-01 X( 1, 5) 0.000000 0.1280000 X( 1, 6) 458.0000 0.000000 X( 1, 7) 0.000000 0.5000000E-02 X( 1, 8) 0.000000 0.2300000E-01 X( 1, 9) 0.000000 0.3930000 X( 2, 1) 536.0000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.2300000E-01 X( 2, 3) 0.000000 0.2880000 X( 2, 4) 577.0000 0.000000 X( 2, 5) 0.000000 0.2050000 X( 2, 6) 0.000000 0.1770000 X( 2, 7) 0.000000 0.1520000 X( 2, 8) 0.000000 0.7300000E-01 X( 2, 9) 0.000000 0.6400000E-01 X( 3, 1) 0.000000 0.1210000 X( 3, 2) 7.000000 0.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.4320000 X( 3, 4) 0.000000 0.7200000E-01 X( 3, 5) 464.0000 0.000000 X( 3, 6) 0.000000 0.6500000E-01 X( 3, 7) 629.0000 0.000000 X( 3, 8) 0.000000 0.7900000E-01 X( 3, 9) 0.000000 0.5300000E-01 X( 4, 1) 0.000000 0.5000000 X( 4, 2) 0.000000 0.1300000E-01 X( 4, 3) 0.000000 0.5890000 X( 4, 4) 0.000000 0.5000000E-01 X( 4, 5) 0.000000 0.2230000 X( 4, 6) 383.0000 0.000000 X( 4, 7) 0.000000 0.3650000 X( 4, 8) 145.0000 0.000000 X( 4, 9) 536.0000 0.000000 X( 5, 1) 0.000000 0.5300000E-01 X( 5, 2) 465.0000 0.000000 X( 5, 3) 0.000000 0.3340000 X( 5, 4) 0.000000 0.6200000E-01 X( 5, 5) 0.000000 0.3460000 X( 5, 6) 0.000000 0.1340000 X( 5, 7) 0.000000 0.1370000 X( 5, 8) 655.0000 0.000000 X( 5, 9) 0.000000 0.1290000再根据满足各自习区的人数分析,各自习区开放哪几个教室最省电.下面是自习区一的目标函数为: min= (4)约束条件为:X( 1) 0.000000 1680.000 X( 2) 1.000000 1680.000 X( 3) 1.000000 2400.000 X( 4) 1.000000 2400.000 X( 5) 1.000000 1620.000 X( 6) 0.000000 0.000000 X( 7) 0.000000 0.000000 X( 8) 0.000000 0.000000 X( 9) 0.000000 0.000000 X( 10) 0.000000 0.000000 X( 11) 0.000000 0.000000 X( 12) 0.000000 0.000000 X( 13) 0.000000 0.000000 X( 14) 0.000000 0.000000 X( 15) 0.000000 0.000000 X( 16) 0.000000 0.000000 X( 17) 0.000000 0.000000 X( 18) 0.000000 0.000000 X( 19) 0.000000 0.000000 X( 20) 0.000000 0.000000 X( 21) 0.000000 0.000000 X( 22) 0.000000 0.000000 X( 23) 0.000000 0.000000 X( 24) 0.000000 0.000000 X( 25) 0.000000 0.000000 X( 26) 0.000000 0.000000 X( 27) 0.000000 0.000000 X( 28) 0.000000 0.000000 X( 29) 0.000000 0.000000 X( 30) 0.000000 0.000000 X( 31) 0.000000 0.000000 X( 32) 0.000000 0.000000 X( 33) 0.000000 0.000000 X( 34) 0.000000 0.000000 X( 35) 0.000000 0.000000 X( 36) 0.000000 0.000000 X( 37) 0.000000 0.000000 X( 38) 0.000000 0.000000 X( 39) 0.000000 0.000000 X( 40) 0.000000 0.000000 X( 41) 0.000000 0.000000 X( 42) 0.000000 0.000000 X( 43) 0.000000 0.000000 X( 44) 0.000000 0.000000 X( 45) 0.000000 0.000000由于第九个自习区的满意度普遍较低,可舍去。则仅剩一到八,八个自习区。第二到第八自习区的目标函数和约束条件相似。依据以下表格:第n区第1区第2区第3区第4区第5区第6区第7区第8区第9区总座位数6665907817205801051786100067080%座位数53347262557646484162980053690%座位数599531702648522945707900603 在满足学生满意度的情况下,对45个教室进行讨论。目标函数: Min= (5)约束条件为: 利用Lingo软件,可以求得最佳答案。 满意度表 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9A10.859 1.000 0.464 0.803 0.728 0.570 0.737 0.625 0.936 A2 0.439 0.572 0.650 0.603 0.703 0.645 0.782 0.573 0.505 A3 0.560 0.549 0.794 0.675 0.498 0.533 0.630 0.579 0.494 A4 0.941 0.564 0.953 0.655 0.723 0.470 0.997 0.502 0.443 A5 0.438 0.495 0.642 0.611 0.790 0.548 0.713 0.4460.516教室(l)座位数(n)灯管数(m)灯管的功率/每只(p) 总功率(p)1644240w16802884240w168031934850w240041935048w240051283645w162061203645w162071203648w172881203645w162091103640w1440101203645w162011642740w1080122477545w3375131904848w2304142105050w250015704240w168016854240w1680171924850w2400181955048w2400191283645w1620201203645w1620211203648w1728221203645w1620231103640w1440241603645w162025702740w1080262567545w3375271904848w2304282105050w2500291904848w2304302055050w2500311103640w1440321603645w162033702740w1080342567545w3375351904848w2304362105050w2500371904848w2304381904848w2304392105050w2500402004848w2304411505050w2500421504848w2304431804848w230444702550w1250451204548w2160区域各区总座位数(个)各区总功率(w) 各区单位座位供电量(w)第1区666978014.685第2区590802813.607第3区7811098914.070第4区630972015.429第5区580754013.000第6区10511298312.353第7区786982912.505第8区10001191211.912第9区6701051815.698 综合满意度= 区 域 各区单位用电量 对各区的满意度 综合满意度 第1区 14.6050.9490.0650 第2区 13.6071.0000.0735 第3区14.0700.9530.0677 第4区15.4290.8030.0520 第5区13.0000.7900.0607 第6区12.3530.6450.0522 第7区12.5050.9970.0797 第8区11.9120.6250.0525 第9区15.6980.9360.0596从综合满意度可以得出需要选第2区和第7区中的教室,再根据第2区和第7区中教室的单位座位用电量可算得第6间和第35间教室最适合. 五、模型的建立与求解 六、结果分析 七、模型的优缺点优点:通过建立简单的模型,利用lingo软件求解,综合考虑了教室满座率和用电量最少,实用性强且易于理解。利用0-1规划模型具有科学依据。缺点:问题二中假设的满意度函数,仅大概的表达了满意度的变化趋势趋势,即仅近似的表达学生的满意度。问题三应用简单的综合满意度分析忽略了实际中对满意度影响的其他因素。 八、参考文献1、肖华勇 实用数学建模与软件应用 西北工业大学出版社 20082、齐欢 数学模型方法 华中理工出版社 19963、白其岭 数学建模案例分析 海洋出版社 20004、Frank R Giordano Maurice D Weir 叶其孝 姜启源 等译数学建模 机械工业出版社 2005 5袁新生 Lingot和Excel在数学建模中的应用 科学出版社 2007第一问程序:目标函数(1)的程序:model:sets:day/1.45/:a,b,x;endsetsdata:b=57 79 173173 115 108108 108 99 108 57 222 171 189 63 76172 175 115108 108 10899 144 63 230 171 189 171 184 99 144 63 230 171 189 171 171 189 180 135 135 162 63 108;a=1680 1680 2400 2400 1620 1620 1728 16201440 1620 1080 3375 2304 25001680 1680 2400 2400 1620 1620 1728 1620 1440 1620 1080 3375 2304 2500 2304 2500 1440 1620 1080 3375 2304 2500 23042304 2500 2304 2500 2304 2304 1250 2160;enddatamin=sum(day(i):a*x);sum(day(i):b*x)=5320;sum(day(i):b*x)=5600;sum(day(i):x)=1064);for(hang(i): sum(lie(j):x(i,j)=1120);for(lie(j): sum(hang(i):x(i,j)=c(j);data:a=0.859 1.000 0.464 0.803 0.728 0.570 0.737 0.625 0.936 0.439 0.572 0.650 0.603 0.703 0.645 0.782 0.573 0.505 0.560 0.549 0.794 0.675 0.498 0.533 0.630 0.579 0.494 0.941 0.564 0.953 0.655 0.723 0.470 0.997 0.502 0.443 0.438 0.495 0.642 0.611 0.790 0.548 0.713 0.446 0.516;b=599 531 702 648 522 945 707 900 603;c=533 472 625 576 464 841 629 800 536;enddata程序2sets:da

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