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第1讲函数及其表示知识点考纲下载函数及其表示 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 了解简单的分段函数,并能简单应用.单调性 理解函数的单调性及其几何意义. 理解函数的最大值、最小值及其几何意义.奇偶性结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.指数函数 了解指数函数模型的实际背景. 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 知道指数函数是一类重要的函数模型.对数函数 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 知道对数函数是一类重要的函数模型. 了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0,且a1).幂函数 了解幂函数的概念. 结合函数yx,yx2,yx3,y,yx的图象,了解它们的变化情况.函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质.函数与方程 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A,B是两个非空的数集设A,B是两个非空的集合对应关系f:AB如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应续表函数映射名称称f:AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)(xA)对应f:AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然,值域是集合B的子集(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系(3)函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集 判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)对于函数f:AB,其值域是集合B.()(2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数()(4)若AR,Bx|x0,f:xy|x|,则对应关系f是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()答案:(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)函数f(x)的定义域为()A0,2)B(2,)C0,2)(2,)D(,2)(2,)解析:选C.由题意得解得x0且x2. 下列函数中,与函数yx1是相等函数的是()Ay()2By31Cy1Dy1解析:选B.对于A.函数y()2的定义域为x|x1,与函数yx1的定义域不同,不是相等函数;对于B.定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C.函数y1的定义域为x|x0,与函数yx1的定义域不同,不是相等函数;对于D,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数 (教材习题改编)已知函数f(x)则f(1)f(3)_解析:f(1)155,f(3)3(34)21,故f(1)f(3)52126.答案:26 若有意义,则函数yx26x7的值域是_解析:因为有意义,所以x40,即x4.又因为yx26x7(x3)22,所以ymin(43)22121.所以其值域为1,)答案:1,)求函数的定义域 典例引领 (1)(2018河南濮阳一高第二次检测)函数f(x)log2(12x)的定义域为()A.B.C(1,0)D(,1)(2)如果函数f(x)ln(2xa)的定义域为(,1),那么实数a的值为()A2B1C1D2(3)若函数yf(x)的定义域是0,2,则函数g(x)的定义域为_【解析】(1)由12x0,x10,得x0,所以x0且a1)的定义域为_解析:由0x2,故所求函数的定义域为(0,2答案:(0,23若函数f(x)的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是_解析:由题意可得mx2mx10恒成立当m0时,10恒成立;当m0时,则解得00,所以t1且x,所以f(t)lg,即f(x)lg(x1)(3)待定系数法:设f(x)ax2bxc(a0),又f(0)c3.所以f(x)ax2bx3,所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以所以所以所求函数的解析式为f(x)x2x3.(4)解方程组法:因为2f(x)f2x,将x换成,则换成x,得2ff(x).由消去f,得3f(x)4x.所以f(x)x(xR且x0)【答案】(1)f(x)x22(x2或x2)(2)f(x)lg(x1)(3)f(x)x2x3(4)x(xR且x0) 若本例(4)条件变为2f(x)f(x)2x,求f(x)解:因为2f(x)f(x)2x,将x换成x得2f(x)f(x)2x,由消去f(x),得3f(x)6x,所以f(x)2x.求函数解析式的4种方法 通关练习1已知f(1)x2,则f(x)的解析式为f(x)_.解析:法一:设t1,则x(t1)2(t1);代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)法二:因为x2()2211(1)21,所以f(1)(1)21(11),即f(x)x21(x1)答案:x21(x1)2设yf(x)是二次函数,方程f(x)0有两个相等实根,且f(x)2x2,则f(x)的解析式为f(x)_解析:设f(x)ax2bxc(a0),则f(x)2axb2x2,所以a1,b2,f(x)x22xc.又因为方程f(x)0有两个相等的实根,所以44c0,c1,故f(x)x22x1.答案:x22x1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数,是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度:(1)由分段函数解析式,求函数值(或最值);(2)由分段函数解析式与方程,求参数的值(或范围);(3)由分段函数解析式,求解不等式(4)由分段函数解析式,判断函数的奇偶性(本章第3讲再讲解)典例引领角度一由分段函数解析式,求函数值(或最值) (1)已知f(x)则ff的值等于()A2B4C2D4(2)已知函数f(x)则f的值是_【解析】 (1)由题意得f2.fff2.所以ff4.(2)由题意可得flog22,所以ff(2)321.【答案】 (1)B(2)角度二由分段函数解析式与方程,求参数的值 (或范围) (分类讨论思想)(2017高考山东卷)设f(x)若f(a)f(a1),则f()A2B4C6D8【解析】 当0a1,f(a),f(a1)2(a11)2a,因为f(a)f(a1),所以2a,解得a或a0(舍去)所以ff(4)2(41)6.当a1时,a12,所以f(a)2(a1),f(a1)2(a11)2a,所以2(a1)2a,无解当a1时,a12,f(1)0,f(2)2,不符合题意综上,f6.故选C.【答案】 C角度三由分段函数解析式,求解不等式 (2017高考全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_【解析】当x0时,f(x)2x1恒成立,当x0,即x时,f2x1,当x0,即0,则不等式f(x)f1恒成立当x0时,f(x)fx1x2x1,所以3a2,则a的取值范围是_解析:由题知,f(1)213,f(f(1)f(3)326a,若f(f(1)3a2,则96a3a2,即a22a30,解得1a3.答案:(1,3)与函数有关的新定义问题 典例引领 若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x01)f(x0)f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”给出下列三个函数:f(x);f(x)2x;f(x)lg(x22)其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为()ABCD【解析】 对于,若存在实数x0,满足f(x01)f(x0)f(1),则1,所以xx010(x00,且x01),显然该方程无实根,因此不是“1的饱和函数”;对于,若存在实数x0,满足f(x01)f(x0)f(1),则2x012x02,解得x01,因此是“1的饱和函数”;对于,若存在实数x0,满足f(x01)f(x0)f(1),则lg(x01)22lg(x2)lg(122),化简得2x2x030,显然该方程无实根,因此不是“1的饱和函数”【答案】B解决与函数有关的新定义问题的策略(1)根据定义合理联想,即分析有关信息,通过联想和类比、拆分或构造,可以将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解(2)捕捉解题信息,紧扣定义,根据定义与条件一步步进行推理求解(3)合理、巧妙的赋值,即给x,y等量一些特殊的数值,求得特殊函数值,从而将新定义的函数进行化简和转化,利用已有函数知识进一步求解 通关练习1若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为yx21,值域为1,3的同族函数有()A1个B2个C3个D4个解析:选C.由x211得x0,由x213得x,所以函数的定义域可以是0,0,0,故值域为1,3的同族函数共有3个2(2018石家庄第一次模拟)若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x,使得f(x)f(x),则称f(x)为“类偶函数”,则下列函数中为类偶函数的是()Af(x)cos xBf(x)sin xCf(x)x22xDf(x)x32x解析:选D.A中函数为偶函数,则在定义域内均满足f(x)f(x),不符合题意;B中,当xk(kZ)时,满足f(x)f(x),不符合题意;C中,由f(x)f(x),得x22xx22x,解得x0,不符合题意;D中,由f(x)f(x),得x32xx32x,解得x0或x,满足题意,故选D. 在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同 函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质和图象的基础因此,我们一定要树立函数定义域优先意识 判断一个函数解析式是否成立,一是根据“函数定义域中的任意一个自变量x在对应关系下都有唯一的函数值y与其对应”进行判断;二是结合函数解析式判断是否满足题目所给的特性 分段函数图象的画法及简单应用(1)分段函数是一个函数,只有一个图象,作图时只能将各段函数图象画在同一坐标系中,而不能将它们分别画在不同的坐标系中;根据函数的概念,可知在函数图象中,横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点;画每一段函数图象时,可以先不管定义域的限制,用虚线画出其图象,再用实线保留其在该段定义域内的图象即可(2)已知分段函数的函数值范围求自变量(或参数)的范围问题,一般画出分段函数的图象,观察在相应区间上函数图象与相应直线交点的横坐标的范围,列出函数满足的不等式(组),求解即可 易错防范(1)因为函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域(2)分段函数无论分成几段,都是一个函数,求分段函数的函数值,如果自变量的范围不确定,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论 1(2018广东深圳模拟)函数y的定义域为()A(2,1)B2,1C(0,1)D(0,1解析:选C.由题意得解得0x0,所以f(2)2ln 22ln 2.因为ln g(f(x)的x的值为_解析:因为g(1)3,f(3)1,所以f(g(1)1.当x1时,f(g(1)f(3)1,g(f(1)g(1)3,不合题意当x2时,f(g(2)f(2)3,g(f(2)g(3)1,符合题意当x3时,f(g(3)f(1)1,g(f(3)g(1)3,不合题意答案:127.若函数f(x)在闭区间1,2上的图象如图所示,则此函数的解析式为_解析:由题图可知,当1x0,于是a4;若f(a)0,则f(a)2,此时只能是a0,由12,解得a2不满足题意)答案:4或9已知f(x)(1)求f()的值;(2)若f(a)4且a0,求实数a的值解:(1)由题意f()f(1)f()f()2.(2)当0a0时,f(g(x)f(x1)(x1)21x22x;当x0,即ab,则f(ab)1,则(ab)(ab)b(ab);若ab0,即ab,则f(ab)1,则(ab)(ab)a(a0时,f(x)x0,(ff)(x)f(x)x;当x0,(ff)(x)f(x)x2;当x0时,(ff)(x)f 2(x)002,因此对任意的xR,有(ff)(x)f(

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