2019版高考数学第3章导数及其应用1第1讲变化率与导数导数的计算教案.docx

第1讲变化率与导数、导数的计算知识点考纲下载导数概念及其几何意义、导数的运算 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义. 能根据导数定义求函数yC(C为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 会利用导数解决某些实际问题.定积分与微积分基本定理 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 了解微积分基本定理的含义.1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax (a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax (x0，a0且a1)f(x)f(x)ln x(x0)f(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)函数yxcos xsin x的导数为()Axsin xBxsin xCxcos xDxcos x解析：选B.yxcos xx(cos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x. (2018开封市第一次模拟)已知直线ykx1与曲线yx3mxn相切于点A(1，3)，则n()A2B1C3D4解析：选C.对于yx3mxn，y3x2m，所以k3m，又k13，1mn3，可解得n3. 已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若f(1)3，则a的值为_解析：因为f(x)a(lln x)，所以f(1)a3.答案：3 (2017高考全国卷)曲线yx2在点(1，2)处的切线方程为_解析：因为yx2，所以y2x，所以y|x1211，所以所求切线方程为y2x1，即xy10.答案：xy10导数的计算 典例引领 求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)ysin(12cos2)；(3)y3xex2xe；(4)y；(5)yln.【解】(1)因为y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以y18x210x4.(2)因为ysin(cos)sin x，所以y(sin x)(sin x)cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y.(5)y(ln)ln(2x1)ln(2x1)ln(2x1)ln(2x1)(2x1)(2x1). 通关练习1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)()A2B4C6D8解析：选C.f(x)6x2f(2)，令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)652f(2)30246.2求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(1sin x)2.解：(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xexex.(4)y2(1sin x)(1sin x)2(1sin x)cos x.导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；(3)已知切线方程求参数值典例引领角度一求切线方程 (1)(2017高考天津卷)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_(2)曲线f(x)x32x22(x)，过点P(2，0)的切线方程为_【解析】(1)因为f(x)a，所以f(1)a1，又f(1)a，所以切线l的方程为ya(a1)(x1)，令x0，得y1，即直线l在y轴上的截距为1.(2)因为f(2)23222220，所以点P(2，0)不在曲线f(x)x32x22上设切点坐标为(x0，y0)，则x0.且所以消去y，整理得(x01)(x3x01)0，解得x01或x0(舍去)或x0(舍去)，所以y01，f(x0)1，所以所求的切线方程为y1(x1)，即yx2.【答案】(1)1(2)yx2角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标 若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为yln x1，所以切线的斜率为kln x01，由题意知k2，得x0e，代入曲线方程得y0e.故点P的坐标是(e，e)【答案】(e，e) 若本例变为：若曲线yxln x上点P处的切线与直线xy10垂直，则该切线的方程为_解析：设切点为(x0，y0)，因为yln x1，由题意，得ln x011，所以ln x00，x01，即点P(1，0)，所以切线方程为yx1，即xy10.答案：xy10角度三已知切线方程求参数值 (2016高考全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线 yln(x1)的切线，则b_【解析】求得(ln x2)， ln(x1).设曲线yln x2上的切点为(x1，y1)，曲线yln(x1)上的切点为(x2，y2)，则 k，所以x21x1.又y1ln x12，y2ln(x21)ln x1，所以k2，所以x1，y1ln22ln 2，所以by1kx12ln 211ln 2.【答案】1ln 2(1)求曲线切线方程的步骤求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；由点斜式方程求得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)求曲线f(x)，g(x)的公切线l的方程的步骤设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x0，f(x0)，(x1，g(x1)，并分别求出两曲线的切线方程；建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y轴上的截距都分别相等，得到关于参数x0，x1的方程组，解方程组，求出参数x0，x1的值；求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可(3)求曲线的切线方程需注意三点当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解；应正确区分“求在曲线点P处的切线方程”和“求过曲线点P处的切线方程” 通关练习1(2018云南省第一次统一检测)已知函数f(x)axln xb(a，bR)，若f(x)的图象在x1处的切线方程为2xy0，则ab_解析：由题意，得f(x)aln xa，所以f(1)a，因为函数f(x)的图象在x1处的切线方程为2xy0，所以a2，又f(1)b，则21b0，所以b2，故ab4.答案：42(2018沈阳市教学质量检测(一)设函数f(x)g()x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为9xy10，则曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为_解析：由已知得 g(1)9，g(1)8，又f(x) g()2x，所以f(2)g(1)44，f(2)g(1)44，所以所求切线方程为y4(x2)，即x2y60.答案：x2y603若直线l与曲线yex及yx2都相切，则直线l的方程为_解析：设直线l与曲线yex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线yx2的切点为(x1，)，因为yex在点(x0，ex0)处的切线的斜率为y|xx0ex0，y在点(x1，)处的切线的斜率为y|xx1()|xx1，则直线l的方程可表示为yex0xx0ex0ex0或yx1xx，所以所以ex01x0，解得x00，所以直线l的方程为yx1.答案：yx1导数的几何意义与其他知识交汇 典例引领 抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_【解析】由于y2x，所以抛物线在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.画出可行域(如图)设x2yz，则yxz，可知当直线yxz经过点A，B(0，1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax，最小值zmin2，故取值范围是.【答案】(1)本题以yx2在x1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x2y的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用(3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇 通关练习1曲线f(x)x33x2在点(1，f(1)处的切线截圆x2(y1)24所得的弦长为()A4 B2C2 D.解析：选A.因为f(x)3x26x，则在点(1，f(1)处的切线的斜率k633，又f(1)2，故切线方程为y23(x1)，即3xy10.因为圆心C(0，1)到直线3xy10的距离d0，所以直线3xy10截圆x2(y1)24所得的弦长就是该圆的直径4，故选A.2对正整数n，设曲线y(2x)xn在x3处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和等于_解析：因为y2nxn1(n1)xn.所以曲线y(2x)xn在x3处的切线的斜率为(n1)3n.所以切线方程为y(n1)3n(x3)3n.令x0，得an(n2)3n，所以3n.所以数列的前n项和为3132333n.答案： 导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导 易误防范(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)nxn1与指数函数的求导公式(ax)axln a混淆(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者 1(2018四川成都模拟)曲线yxsin x在点P(，0)处的切线方程是()Ayx2Byx2Cyx2Dyx2解析：选A.因为yf(x)xsin x，所以f(x)sin xx cos x，在点P(，0)处的切线斜率为ksin cos ，所以曲线yxsin x在点P(，0)处的切线方程是y(x)x2.故选A.2已知函数f(x)(x22)(ax2b)，且f(1)2，则f(1)()A1 B2C2D0解析：选B.f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(2ab)x为奇函数，所以f(1)f(1)2.3. 函数g(x)x3x23ln xb(bR)在x1处的切线过点(0，5)，则b的值为()A. B.C. D.解析：选B.当x1时，g(1)1bb，又g(x)3x25x，所以切线斜率kg(1)35311，从而切线方程为y11x5，由于点在切线上，所以b115，解之得b.故选B.4如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C3D4解析：选B.由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率为，即f(3)，又g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3)1，所以g(3)130.5(2018广州市综合测试(一)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A(0，0) B(1，1)C(1，1)D(1，1)或(1，1)解析：选D.由题易知，f(x)3x22ax，所以曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为f(x0)3x2ax0，又切线方程为xy0，所以x00，且，解得a2，x0.所以当时，点P的坐标为(1，1)；当时，点P的坐标为(1，1)，故选D.6若f(x)(x22x1)e2x，则f(x)_解析：f(x)(x22x1)e2x(x22x1)(e2x)(2x2)e2x(x22x1)(e2x)(3x2)e2x.答案：(3x2)e2x7(2018昆明市教学质量检测)若函数f(x)cos(x)的图象在x0处的切线方程为y3x1，则_.解析：由题意，得f(x)sin(x)，所以f(0)sin3，所以3.答案：38若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：由题意，可知f(x)3ax2，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax20，即a(x0)，故a(，0)答案：(，0)9求下列函数的导数：(1)y(3x34x)(2x1)；(2)y；(3)yxsincos；(4)y.解：(1)法一：因为y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，所以y24x39x216x4.法二：y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4.(2)y.(3)因为yxsincosxsin(4x)xsin 4x，所以ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.(4)y.10已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上因为f(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，所以x01.所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.1(2018成都市第二次诊断性检测)若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A(，)B，)C(0，)D0，)解析：选D.f(x)2ax(x0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为2过点A(2，1)作曲线f(x)x33x的切线最多有()A3条B2条C1条D0条解析：选A.由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x3x0)，那么切线的斜率为k3x3，利用点斜式方程可知切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，将点A(2，1)代入可得关于x0的一元三次方程2x6x70.令z2x6x7，则z6x12x0.由z0得x00或x02.当x00时，z70；x02时，z10.所以方程2x6x70有3个解故过点A(2，1)作曲线f(x)x33x的切线最多有3条3曲线f(x)ex在x0处的切线与曲线g(x)ax2a(a0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为_解析：曲线f(x)在x0处的切线方程为yx1.设其与曲线g(x)ax2a相切于点