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第 1 页(共 17 页) 2015年浙江省台州市高二(下)期末数学试卷 一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1设 i 为虚数单位,若 2+ai=b 3i, a, b R,则 a+ ) A 2+3i B 3+2i C 3 2i D 3 2i 2 =( ) A 10 B 15 C 60 D 20 3设空间向量 =( 1, 2, 1), =( 2, 2, 3),则 =( ) A( 2, 4, 3) B( 3, 4, 4) C 9 D 5 4函数 y= 的导数为( ) A B C D 5用反证法证明 “凸四边形的四个内角中至少有一个不小于 90”时,首先要作出的假设是( ) A四个内角都大于 90 B四个内角中有一个大于 90 C四个内角都小于 90 D四个内角中有一个小于 90 6若 54C =21,则 n 的值为( ) A 8 B 7 C 6 D 5 7有 6 位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照,现老师排在最中间,学生从中间到两边都按身高从高到低排列,则所有的排列方法种数为( ) A 26 B 663636空间直角坐标系中, =( 1, 0, 0), =( 0, 1, 0), =( 0, 0, 1),则与 , ,所成角都相等的单位向量为( ) A( 1, 1, 1) B( , , ) C( , , ) D( , , )或( , , ) 9在( 1+x+ 1 x) 10 展开式中, 系数为( ) A 49C+ 19499410C+ 310C+ 2104101010空间直角坐标系中, A( 1, 1, 2), B( 1, 2, 3), C( 1, 3, 0), D( x, y,z)( x, y, z R),若四点 A, B, C, D 共面,则( ) A 2x+y+z=1 B x+y+z=0 C x y+z= 4 D x+y z=0 11将 1, 2, 3, 4, 5, 6 这六个数字组成一个没有重复数字的六位数,若 1 和 2 相邻,且3 和 4 不相邻,则这样六位数的个数为( ) 第 2 页(共 17 页) A 288 B 144 C 72 D 36 12设 f( x)是定义在正整数集上的函数,且当 f( k) 2k( k 2, k N*)时,总有 f( k 1) 2k 1 成立,则下列命题为真命题的是( ) A若 f( 1) 2,则 f( n) 2n B若 f( 4) 16,则 f( n) 2n C若 f( 4) 16,则当 n 4 时, f( n) 2 f( 1) 2,则 f( n) 2n 13已知 a, b 为正实数,若直线 y=x+a 与曲线 y=b 相切(其中 e 为自然对数的底数),则 的取值范围为( ) A( 0, ) B( 0, 1) C( 0, +) D 1, +) 14已知实数 a, b, c ( 0, 1),设 + , + , + 这三个数的最大值为 M,则 M 的最小值为( ) A 5 B 3+2 C 3 2 D不存在 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分 15设 i 为虚数单位,若 = + i,则 |= 16现有两本相同的数学书,两本相同的英语书(记 a, b 分别表示数学书和英语书),从中取出两本书送给小朋友,则所有不同的选法为 (用 a, b 表示) 17设 a 0,若 P= + , Q= + ,则 P Q(请用 “ ”, “ “=“符号填) 18设函数 f( x) =x3+b( a, b R),当 x= 时, f( x)取极小值 0,则实数 b= 19在 60的二面角 l 的棱 l 上有两点 A, B,直线 别在这个二面角的两个半平面内, l l,若 , , ,则 长为 20计算 +以采用以下方法:构造等式: + 1+x) n,两边对 x 求导,得 +1=n( 1+x) n 1,在上式中令 x=1,得 +n2n 1类比上述计算方法,计算22+ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 21有 5 名同学参加 3 门兴趣特长类选修课程的学习 ( 1)若要求每位同学只能选一门课程,求不同选课方法种数; ( 2)若要求每位同学只能选一门课程,其中甲乙两人选同一门课程,求不同选课方法种数 22已知 a R,且在( ) n 的展开式中,第 5 项与第 6 项的二项式系数最大 ( 1)若 a=1,求展开式中的常数项; ( 2)若展开式中 系数为 63,求 a 的值 23已知数列 前 n 项和为 4,且 + ) 2n 1( n N*) ( 1)求 , , ; 第 3 页(共 17 页) ( 2)由( 1)猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法证明 24如图所示,在四棱锥 P , 底 面 面 直角梯形, D, C=2, , ( 1)求证:平面 平面 ( 2)若二面角 P E 的大小为 45,求直线 平面 成角的正弦值 25设 a, b R,函数 f( x) = g( x) =x2+b, ( 1)若 a= 3, b=0,求函数 h( x) =f( x) g( x)在区间( 0, 1上的最值; ( 2)若函数 m( x) =f( x) +g( x)在区间( 0, 1上单调递减,求实数 a 的最大值; ( 3)若对任意实数 a ( , 1),关于 x 的方程 f( x) =g( x)有三个不同的解,求实数 b 的取值范围 第 4 页(共 17 页) 2015年浙江省台州市高二(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1设 i 为虚数单位,若 2+ai=b 3i, a, b R,则 a+ ) A 2+3i B 3+2i C 3 2i D 3 2i 【考点】 复数相等的充要条件 【分析】 由已知条件再根据复数相等的充要条件即可得到 a, b 的值,则 a+答案可求 【解答】 解:由 2+ai=b 3i, a, b R, 再根据复数相等的充要条件得: a= 3, b=2 则 a+ 3+2i 故选: B 2 =( ) A 10 B 15 C 60 D 20 【考点】 排列及排列数公式 【分析】 根据排列公式计算即可 【解答】 解: =5 4 3=60, 故选: C 3设空间向量 =( 1, 2, 1), =( 2, 2, 3),则 =( ) A( 2, 4, 3) B( 3, 4, 4) C 9 D 5 【考点】 空间向量的数量积运算 【分析】 由已知利用向量数量积公式直接求解 【解答】 解: 空间向量 =( 1, 2, 1), =( 2, 2, 3), =1 2+2 2+1 3=9 故选: C 4函数 y= 的导数为( ) A B C D 【考点】 导数的运算 【分析】 直接利用导数的运算法则求解即可 【解答】 解:函数 y= 的导数为: y= 故选: D 第 5 页(共 17 页) 5用反证法证明 “凸四边形的四个内角中至少有一个不小于 90”时,首先要作出的假设是( ) A四个内角都大于 90 B四个内角中有 一个大于 90 C四个内角都小于 90 D四个内角中有一个小于 90 【考点】 数学归纳法 【分析】 运用反证法证明命题时,首先必须对结论否定, “至少有一个 ”的否定是 “没有一个 ”,即可得到假设 【解答】 解:用反证法证明 “凸四边形的四个内角中至少有一个不小于 90”时, 首先要作出的假设是 “凸四边形的四个内角中没有一个不小于 90”, 即为 “凸四边形的四个内角都小于 90” 故选: C 6若 C +C =21,则 n 的值为( ) A 8 B 7 C 6 D 5 【考点】 组合及组合数公式 【分析】 利用组合数公式求解求解 【解答】 解: C +C =21, + =21, 由 n N*, 解得 n=6 故选: C 7有 6 位身高互不相同的学生与一位老师排成一排拍照,现老师排在最中间 ,学生从中间到两边都按身高从高到低排列,则所有的排列方法种数为( ) A 26 B A C A D C 【考点】 计数原理的应用 【分析】 先排老师,再选 3 个排在左边,右边的就确定,问题得以解决 【解答】 解:老师排在最中间,只需排好左右两边,先排左边,右边的顺序就确定了,有排法 故选: D 8在空间直角坐标系中, =( 1, 0, 0), =( 0, 1, 0), =( 0, 0, 1),则与 , ,所成角都相等的单位向量为( ) A( 1, 1, 1) B( , , ) C( , , ) D( , , )或( , , ) 【考点】 空间向量的数量积运算 第 6 页(共 17 页) 【分析】 设满足题意的向量为( x, y, z),由题意得到关于 x, y, z 的方程解之 【解答】 解:设所求的单位向量为 =( x, y, z),则由与 , , 所成角都相等得到 ,所以 x=y=z,且 x2+y2+,所以 x=y=z= 或 ; 故选 D 9在( 1+x+ 1 x) 10 展开式中, 系数为( ) A C +C B C C C C +C +C D C C C 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 先将多项式化 简,转化为二项式系数的和差,利用二项展开式的通项公式求出各项系数即可 【解答】 解: ( 1+x+ 1 x) 10=( 1 1 x) 9 ( 1+x+ 1 x) 10 展开式中含 系数为 ( 1 x) 9 的含 系数加上其含 x 的系数 ( 1 x) 9 展开式的通项为 = x) r 令 r=4, 1 分别得展开式含 x 项的系数为 故( 1+x+ 1 x) 10 展开式中含 系数为 91, 故选: A 10在空间直角坐标系中, A( 1, 1, 2), B( 1, 2, 3), C( 1, 3, 0), D( x, y,z)( x, y, z R),若四点 A, B, C, D 共面,则( ) A 2x+y+z=1 B x+y+z=0 C x y+z= 4 D x+y z=0 【考点】 空间向量的基本定理及其意义;空间中的点的坐标 【分析】 利用空间向量共面的基本定理,列出关系式,化简求解即可 【解答】 解: A( 1, 1, 2), B( 1, 2, 3), C( 1, 3, 0), D( x, y, z)( x, y,z R), =( 0, 1, 1), =( 2, 2, 2), =( x 1, y 1, z+2), 四点 A, B, C, D 共面, 存在实数 , 使得, = + , ( x 1, y 1, z+2) =( 0, 1, 1) +( 2, 2, 2), ,解得 2x+y+z=1, 故选: A 11将 1, 2, 3, 4, 5, 6 这六个数字组成一个没有重复数字的六位数,若 1 和 2 相邻,且3 和 4 不相邻,则这样六位数的个数为( ) A 288 B 144 C 72 D 36 【考点】 排列、组合及简单计数问题 第 7 页(共 17 页) 【分析】 由题意知 1 与 2 相邻,相邻用捆绑法, 3 和 4 不相邻,利用插空法,可得结论 【解答】 解:先把 1 和 2 捆绑在一起,看做一个复合元素再和 5, 6 全排,形成了 4 个空,将 3, 4 插入其中, 故有 44 个 故选: B 12设 f( x)是定义在正整数集上 的函数,且当 f( k) 2k( k 2, k N*)时,总有 f( k 1) 2k 1 成立,则下列命题为真命题的是( ) A若 f( 1) 2,则 f( n) 2n B若 f( 4) 16,则 f( n) 2n C若 f( 4) 16,则当 n 4 时, f( n) 2 f( 1) 2,则 f( n) 2n 【考点】 反证法 【分析】 根据条件的递推关系,利用反证法进行判断即可 【解答】 解:若 f( n) 2n 假设 f( n) 2n,不成立,则 f( n) 2n, 根据递推条件得 f( n 1) 2n 1 成立, f( 2) 22, f( 1) 2 成立,与 f( 1) 2,矛盾, 故假设不成立, 故若 f( 1) 2,则 f( n) 2n 成立,即 D 是真命题, 故选: D 13已知 a, b 为正实数,若直线 y=x+a 与曲线 y=b 相切(其中 e 为自然对数的底数),则 的取值范围为( ) A( 0, ) B( 0, 1) C( 0, +) D 1, +) 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 设切点为( m, n),求得曲线对应函数的导数,可得切线的斜率,由 切线方程,可得 m, n 的方程,化简可得 b=1 a,代入所求式子,令 t=3 a, t ( 2, 3),可得 =t+ 6,运用对勾函数的单调性,可得所求范围 【解答】 解:设切点为( m, n), 由 y=b 的导数为 y=b, 直线 y=x+a 与曲线 y=b 相切, 可得 b=1, n=m+a=b, 即有 m=b=1 a, 即 a+b=1,( a, b ( 0, 1), 则 = = , 令 t=3 a, t ( 2, 3),即 a=3 t, 可得 = =t+ 6, 第 8 页(共 17 页) 由 t+ 的导数为 1 , 由 2 t 3,可得 1 0, 则 t+ 在( 2, 3)递减, 可得 t+ ( 6, ), 则 的取值范围为( 0, ) 故选: A 14已知实数 a, b, c ( 0, 1),设 + , + , + 这三个数的最大值为 M,则 M 的最小值为( ) A 5 B 3+2 C 3 2 D不存在 【考点】 基本不等式 【分析】 由题意可得 + M, + M, + M,由不等式的可加性和乘 1 法和基 本不等式,可得最小值 【解答】 解:由题意可得 + M, + M, + M, 即有 3M + + + + + =( + ) +( + ) +( + ), 由 0 a 1,可得 + =a+( 1 a) ( + ) =3+ + 3+2 =3+2 当且仅当 a= ( 1 a),即 a=2 时,取得最小值3+2 ; 同理可得 + 在 b=2 时,取得最小值 3+2 ; + 在 c=2 时,取得最小值 3+2 则 3M 3( 3+2 )即 M 3+2 可 得 M 的最小值为 3+2 故选: B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分 15设 i 为虚数单位,若 = + i,则 |= 1 【考点】 复数求模 【分析】 直接由复数求模公式计算得答案 第 9 页(共 17 页) 【解答】 解:由 = + i, 则 |= 故答案为: 1 16现有两本相同的数学书,两本相同的英语书(记 a, b 分别表示数学书和英语书),从中取出两本书送给小朋友,则所有不同的选法为 用 a, b 表示) 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 由题意可知,所有的排列为 题得以解决 【解答】 解:现有两本相同的数学书,两本相同的英语书(记 a, b 分别表示数学书和英语书),从中取出两本书送给小朋友,则所有不同的选法为 故答 案为: 7设 a 0,若 P= + , Q= + ,则 P Q(请用 “ ”, “ “=“符号填) 【考点】 不等式比较大小 【分析】 平方作差即可得出 【解答】 解: a+8 2 =2( 0, a 0, P, Q 0 Q P 故答案为: 18设函数 f( x) =x3+b( a, b R),当 x= 时, f( x)取极小值 0,则实数 b= 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 根据函数 f( x) =x3+b( a, b R),当 x= 时, f( x)取极小值 0,得到 f( )= + a=0, f( ) = + a+b,即可求出 b 【解答】 解 : f( x) =x3+b, f( x) =3 函数 f( x) =x3+b( a, b R),当 x= 时, f( x)取极小值 0, f( ) = + a=0, f( ) = + a+b, a= 2, b= 故答案为: 第 10 页(共 17 页) 19在 60的二面角 l 的棱 l 上有两点 A, B,直线 别在这个二面角的两个半平面内, l l,若 , , ,则 长为 2 【考点】 与二面角有关的立体几何综合题 【分析】 利用已知条件确定 120,利用 = ,通过向量的数量积的运算求出 距离 【解答】 解:由已知,可得 二面角的大小为 60, 则 , =60 =120, = = + + +2 +2 +2 =36+16+64+2 6 8 68 =2 故答案为: 2 20计算 +以采用以下方法:构造等式: + 1+x) n,两边对 x 求导,得 +1=n( 1+x) n 1,在上式中 令 x=1,得 +n2n 1类比上述计算方法,计算 22+n( n+1) 2n 2 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 构造等式: +n( 1+x) n 1,两边对 x 求导,两边同乘以 x,再两边求导后赋值即可 【解答】 解:构造等式: +n( 1+x) n 1, 两边对 x 求导,得 +1=n( 1+x) n 1, 两边同乘以 x,得 +1+x) n 1, 再两边求导,得 22+n( 1+x) n 1+( n 1) x( 1+x) n 2 令 x=1,得 22+n( n+1) 2n 2, 故答案为: n( n+1) 2n 2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 21有 5 名同学参加 3 门兴趣特长类选修课程的学 习 ( 1)若要求每位同学只能选一门课程,求不同选课方法种数; ( 2)若要求每位同学只能选一门课程,其中甲乙两人选同一门课程,求不同选课方法种数 第 11 页(共 17 页) 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 ( 1)每位同学有 3 种选课方法,由分步计数原理可得, ( 2) 3 门课程让甲乙先选一门,再剩下的 3 人每位同学有 3 种选课方法,由分步计数原理可得 【解答】 解:( 1)由题意得每位同学有 3 种选课方法,由分步计数原理,得一共有 35=243种, ( 2) 3 门课程让甲乙先选一门,再剩下的 3 人每位同学有 3 种选课方法,得一共有 1种 22已知 a R,且在( ) n 的展开式中,第 5 项与第 6 项的二项式系数最大 ( 1)若 a=1,求展开式中的常数项; ( 2)若展开式中 系数为 63,求 a 的值 【考点】 二项式定理的应用;二项式系数的性质 【分析】 ( 1)由题意可得 = 最大, n=9,再根据 a=1,通项公式 = ( 1) r ,令 x 得幂指数等于 0,求得 r 的值,可得展开式的常数项 ( 2)展开式中的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求得 r=4,利用通项公式可得展开式中系数,再根据次系数为 63,求得 a 的值 【解答】 解:( 1) 在( ) n 的展开式中,第 5 项与第 6 项的二项式系数最大, = 最大, n=9, a=1,根据展开式中的通项公式 = ( 1) r ,令 9 =0,求得r=6, 故展开式的常数项为 = ( 2)展开式中的通项公式 = ( a) r 中,令 9 =3, 求得 r=4,故展开式中 系数为 ( a) 4=63,求得 a= 2 23已知数列 前 n 项和为 4,且 + ) 2n 1( n N*) ( 1)求 , , ; ( 2)由( 1)猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法证明 【考点】 数学归纳法;数列的概念及简单表示法 【分析】 ( 1)可令 n=1, 2, 3,代入已知等式,结合 1; an=1( n 1),计算即可得到所求值; 第 12 页(共 17 页) ( 2)猜想可得数列 的通项公式 =n N*)运用数学归纳法证明验证当 n=1时,等式成 立;再假设 n=k( k N*), =立,证明当 n=k+1 时,结合假设和 = 简整理,即可得证 【解答】 解:( 1) + ) 2n 1( n N*), 可得 n=1 时, 1=( +1) 1, 解得 ,即有 =1; n=2 时, 2 + ) 2=14, 解得 6, =4; n=3 时, 3 + ) 22, 解得 2, =9; ( 2)由( 1)猜想可得数列 的通项公式为 =n N*) 下面运用数学归纳法证明 当 n=1 时,由( 1)可得 =1 成立; 假设 n=k( k N*), =立, 当 n=k+1 时, = + ) 2k+1 1, 即有( ) =2k=2k2k=( 1) 2k, 则 =( k+1)( k 1) 2k, 当 k=1 时,上式显然成立; 当 k 1 时, =2( k+1) 22k=( k+1) 22k+1 即 =( k+1) 2, 则当 n=k+1 时,结论也成立 由 可得对一切 n N*, =立 第 13 页(共 17 页) 24如图所示,在四棱锥 P , 底面 面 直角梯形, D, C=2, , ( 1)求证:平面 平面 ( 2)若二面角 P E 的大小为 45,求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定 【分析】 ( 1)推导出 而 平面 此能证明平面 平面 ( )取 中点 F,以 C 为坐标原点, x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线 平面 成角的正弦值 【解答】 证明:( 1) 平面 平面 又 平面 又 平面 平面 平面 解:( )取 中点 F,连结 如图,以 C 为坐标原点, x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系, 则 P( 0, 0, a),( a 0), E( , , ), =( ), =( 0, 0, a), =( , , ), 设 =( x, y, z)是平面 一个法向量, 则 ,取 x=1,得 =( 1, , 0), 设平面 法向量 =( a, b, c), 则 ,取 a=1,得 =( 1, , ), 二面角 P E 的大小为 45, | |= = = , 解得 a=2 ,此时 =( 1, , 2), 第 14 页(共 17 页) =( ), 设直线 平面 成角为 , 则 |= = = 直线 平面 成角的正弦值为 25设 a, b R,函数 f( x) = g( x) =x2+b, ( 1)若 a= 3, b=0,求函数 h( x) =f( x) g( x)在区间( 0, 1上的最值; ( 2)若函数 m( x) =f( x) +g( x)在区间( 0, 1上单调递减,求实数 a 的最大值; ( 3)若对任意实数 a ( , 1),关于 x 的方程 f( x) =g( x)有三个不同的解,求实数 b 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最

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