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学科教育论文-用卡诺图化简逻辑函数的研究.doc学科教育论文-用卡诺图化简逻辑函数的研究.doc -- 2 元

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学科教育论文用卡诺图化简逻辑函数的研究摘要给出了用卡诺图法化简逻辑函数的可行原则,并用具体事例诠释了该原则。关键词可行原则卡诺图化简逻辑函数KeyWordsdoableprincipleKarnaughchartreducelogisticfunction熟知,数字电子技术的功能是通过逻辑函数来实现的,而逻辑函数一般是基本逻辑或、与、非的复合表达,实现某种复合逻辑的最简数学表达意味着对应的技术成本较低所以化简逻辑函数既具有理论价值,也具有现实意义。化简逻辑函数的方法大体有两类一是公式化简法,二是卡诺图化简法。迄今,用卡诺图化简逻辑函数的研究尚不完善,本文专论用卡诺图化简逻辑函数的可行原则。一、问题的提出阎石教授在面向二十一世纪课程教材数字电子技术基础中给出了一个事例[1]用卡诺图化简法化简以下逻辑函数YACACBCBC(1)由于YACACBCBCA(BB)CA(BB)C(AA)BC(AA)BCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC所以,阎石教授画出了表示逻辑函数Y的如下卡诺图然后,阎石教授对卡诺图中为1的相邻元素进行不同方案的合并,分别得到YABACBC(2)YACBCAB(3)据此,阎石教授认为,有时一个逻辑函数的化简结果不是唯一的。遗憾的是,阎石教授没有追问,这是为什么其实,一个逻辑函数利用卡诺图化简的结果不唯一,只表明函数的化简还可继续为论证我们的推断,且从基本概念开始讨论。二、基本概念1、n个逻辑变量组成的最小项。n个逻辑变量组成的最小项可以定义如下由n个逻辑变量或其非组成的n个不同元素的连续与叫这些自变量的最小项。例如ABCD,ABCD等等。这个定义较之以往的陈述[2]更简洁、也更准确。2、n个逻辑变量组成的最大项。n个自变量组成的最大项可以定义如下由n个自变量或其非组成的n个不同元素的连续或叫这些自变量的最大项。例如ABCD,ABCD等等。这个定义也较以往的陈述[2]更简洁、更准确。。3、逻辑相邻性。由n个自变量组成的两个最小项(或最大项),只有一个因子不同(即互反),这两个最小项(或最大项)就具有逻辑相邻性。例如两个最小项ABCD与ABCD具有逻辑相邻性两个最大项ABCD,ABCD也具有逻辑相邻性。ABCD4、卡诺图。在逻辑代数中,由于任何一个逻辑函数总可以表成最小项的连续或,也总可以表成最大项的连续与所以卡诺图应当有两种一是关于最小项的卡诺图,二是关于最大项的卡诺图。不过,一个逻辑函数之最小项的表达形式恰好是这个逻辑函数组成元素之非的最大项的非例如ABCDABCD,ABCDABCD。据此可知,一个逻辑函数之最小项的卡诺图与这个逻辑函数之最大项的卡诺图是同一表达的两种形式。鉴于n个逻辑变量组成的最小项书写起来比这n个逻辑变量组成的最大项简洁,因而,通常只讨论最小项的卡诺图。最小项的卡诺图就是把所有具有逻辑相邻性的n个逻辑变量组成的最小项相邻地排布起来,当n为偶数时,排成2n22n2方阵当n为奇数时,排成2n122n12阵列这类阵列就是n个自变量组成的最小项卡诺图。三、用卡诺图化简逻辑函数的可行原则用卡诺图化简逻辑函数,先得将一个逻辑函数化为最小项的连续或(抑或最大项的连续与)的表达形式,并据此表达在对应卡诺图中存在某最小项(抑或最大项)的位置记1,不存在该最小项(抑或最大项)的位置记0,排布出2n22n2抑或2n122n12卡诺图陈列。然后,依据卡诺图,按以下基本原则化简逻辑函数1、为简便起见,卡诺图中为1的元素少于为0的元素,宜将诸为1的元素合并化简逻辑函数,给出逻辑函数的表达式Y反之,若卡诺图中为1的元素多于为0的元素,宜将诸为0的元素合并化简逻辑函数,给出逻辑函数的非的表达式YTX容易证明两种化简逻辑函数的途径对于同一卡诺图是等价的。2、卡诺图中有2N个为1(抑或0)的元素在一行(抑或一列)内连续相邻,抑或2N个为1(抑或0)的元素构成一个连续相邻的矩形阵列,则可化简消去N对元素。3、若一个逻辑函数对应的卡诺图中,任何为1(抑或为0)的最小项(抑或最大项)均无逻辑相邻性的同为1(抑或为0)的项,则此逻辑函数不能再用卡诺图化简。下面用具体事例展示用卡诺图化简逻辑函数的上述原则。仍用阎石教授给出的上例[1]实际上,阎石教授对逻辑函数YACACBCBC的化简没有遵从我们上面给出的原则,从而导致了逻辑函数化简过程的复杂化。显然,上面列出的逻辑函数YACACBCBC对应的卡诺图中,有六个1、两个0,所以据基本原则1、3两条,宜将诸为0的元素合并化简逻辑函数,给出YABCABC(4)而不应当像阎石教授那样,采用不同方案将诸为1的元素合并化简逻辑函数,分别得出(2)式和(3)式。事实上,由(2)式进一步化简,有YABACBCABACBCABACBCABCABC(5)同样地,由(3)式进一步化简,有YACBCABACBCABACBCABABCABC(6)(5)式和(6)式表明,(2)式和(3)式其实是唯一结果(4)式的不同中间表达,阎石教授关于有时一个逻辑函数的化简结果不是唯一的这种推断是错误的可见,我们上面给出的用卡诺图化简逻辑函数的原则应当遵从否则,会导致逻辑函数化简过程不必要的复杂化。参考文献1,2.阎石,数字电子技术基础,北京高等教育出版社,2000.2122
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