学科教育论文-运动观点下寻找辅助线的方法小结.doc学科教育论文-运动观点下寻找辅助线的方法小结.doc

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学科教育论文运动观点下寻找辅助线的方法小结【摘要】本文分析了运动观点下寻找辅助线的方法小结。【关键词】辅助线方法我们为了证明或计算的需要,常常在原来图形上添画的线就是辅助线。辅助线有时不止一条,也不一定是线段或直线,它可能是弧或圆。这就要看证明的需要而定了。对一个已知图形来说,可画出的辅助图形是很多的,合适的辅助线可以扩大原题的“已知”,从而使原来不大明显的各个几何量之间的关系明朗起来,从而协助门推导出结论。但用不着的就不必画。画多了,图形就显得复杂、混乱,反而难证,或虽获证,但走了弯路。对大多数的初学者来说,寻找辅助线是比较棘手的问题。它的规律性并不是一成不变的。有的甚至是好几种方法联合使用,所以,比较困难。这里我们将介绍一种行之有效的方法来添加辅助线用运动的观点来观察图形,设想把某一有关部分的图形进行对折、平移、旋转,从而巧妙地添出辅助线,有效地解决问题。下面我们分别举例介绍这三种方法。一、对折法“对折法”就是“轴对称变换法”。这是利用“成轴对称的两个图形是全等的”这一原理,把图中的一部分或整个图形,以某一直线为折痕(即对称轴)翻转过来,就得到它的全等形。通过这种变换把分散的把较分散的线段、角等集中起来,或者使原有的已知条件扩大,或者使各个几何量之间的关系明朗化,所以这是个通用的好方法。例1如图1,在直线MN的同旁有两点P、Q,试在MN上求一点R,使PRRQ最短。分析设R已经求出,那么PRQ是折线。折线是不是最短就要看它“拉直”以后是不是最短。因为“两点间的距离以连接这两点所成的线段最短”。把PRQ“拉直”就是线段PQ。很明显Q’是Q关于直线MN为轴的轴对称点。所以点Q’的得到是运用线段最短定理和想象轴对称移动而悟出的。如图2,在⊿ABC中,AE是∠A的平分线,∠BAC2∠B,AB2AC。求证∠C是直角分析由于∠1∠2,若以角平分线AE为对称轴把⊿AEC对折,那么AC必落在AB上,C点落在C’上。⊿AEC≌⊿AEC’,从而∠AC’E∠C,所以去证∠AC’E90即可。而由题设易导出此题的结论。上面两个例子是利用“对折法”(轴对称法)去寻找适当的辅助线,由于添置辅助线后可得到全等形,所以能得到的过渡性的结论是很多的,要结合需要证明的结论,适当选取有用的。二、平移法平移法即平移变换法。顾名思义,其具体做法就是过某点作某线段或直线的平行线,利用平行线性质同位角相等、内错角相等,或利用平行四边形诸性质,把有关元素集中起来。如图3,已知⊿ABC的两边AB、AC上的中线分别是BD、CE,若BDCE求证ABAC分析已知的两条相等的中线在图中交叉摆着,我们试把它安排在一个三角形中就比较好考虑,于是设想把其中的一条中线CE平行移动到DF的位置,这样就成了一个等腰三角形DBF,立即得到∠1∠F∠2,从而得到GBGC,GDGE。要证BECD就简单了。如图4,已知等腰梯形ABCD的中位线为EF,对角线AC、BD互相垂直,高为CG。求证EFCG分析这题涉及到的两对互相垂直的线段“互不相关”,怎样让它们“集中”一些呢因为梯形的中位线等于两底和的一半,所以可把小底CD沿DB平行移动到大底上,让“和”体现出来,这样⊿CAH就成了等腰直角三角形,而高CG就成了斜边AH上的中线,由EF(ABCD)/2(ABBH)/2AH/2及CGAH/2就可以推出结论了。这两个例子说明利用平行移动方法是集中有关几何向量的一个便当、直观的好方法。运用平行移动原理寻找辅助线是常用的重要的方法。三、旋转法旋转法是把某一个图形(常常遇到的是三角形)围绕某定点(三角形的顶点、平行四边形的对角线的交点及正多边形的中心等)作顺时针或逆时针的旋转而得到的新的图形,这种方法能集中条件,扩大已知,图形之间易于联系、呼应,达到较顺利论证的目的。如图5,D是等腰三角形ABC内的一点,ABAC,∠ADB∠ADC求证DCDB分析如果想从∠ABC=∠ACB分别减去不等的∠ABD、∠ACD从而达到∠DBC>∠DCB的过渡性的结论是不易的。因为∠ABD、∠ACD的不等,不能从已知的两个不等的角推出,设想把⊿ADB绕着A点旋转到⊿AEC的位置,这样∠ADB就移到∠AEC位置而变成了∠AEC>∠ADC了。再连结D、E,就能得到∠1=∠2,从而∠3>∠4,DC>EC了。上面例子添置的辅助线是设想把图形的某一部分旋转而获得的启发,在证明中借助这种想象常常可获得满意的结果。我们在这里列举了以上三种方法的几个例子,要想掌握添置辅助线的基本方法和基本技能,还得通过较多的练习,去取得经验、积累经验,不拘于某种固定的思路,善于发现新线索、新思路,只有这样才能达到触类旁通、运用自如,形成技巧,达到提高分析问题、解决问题的目的。
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