随机变量的分布函数、连续型.ppt

一、分布函数,3.3 随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布律可以完整地描述离散型 随机变量的概率分布. 但对于非离散型随机变量,由于它可能的取值不可数,所以要用分布律来描述它是不可能的. 例如,我们要观察某种型号的电子元件的寿命, 它的值域为大于等于零的数,而不是集中在有限个或可 数无穷多个点上,因此,其概率规律不能用分布律来描述. 另外，在研究一个随机变量时,我们常常关心的并不是它取某个值的概率,而是它落在某个区间上的概率. 例如,学生考试前并不关心他恰好取得88分的概率,而是关心他将考得60分以上的概率.,一、分布函数,3.3 随机变量的分布函数,一般地,对于一个随机变量,我们关心的是X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率.,分布函数,定义,设 X 是一个 随机变量，称,为 X 的分布函数. 或记作FX(x).,一、分布函数,3.3 随机变量的分布函数,事件,的概率可写成,二、分布函数的性质,即F(x)是单调非减的。,即F(x)是右连续的。,例1,一次抛掷两枚均匀硬币,若以X表示出现正面的次数，,求X的分布函数.,解,由题意，,X的分布律为,0,1,2,Page 30 例 3-1,当,时,当,时,当,时,当,时,0,1,2,故X的分布函数为,它是一条阶梯形曲线，,则离散型随机变量X的分布函数,设离散型随机变量X 的分布律为,例2,向区间(a,b内任意掷一质点,设此试验是几何概型的,求落点X坐标的分布函数.,解,由题意知,Page 30 例 3-1,当,时,当,时,当,时,于是X的分布函数为,F(x)的图形是一条连续曲线,3.4 连续型随机变量,有些随机变量，它们的值域是一个区间或若干个区间的并，称这类随机变量为连续型随机变量。我们不能将它的取值一一列出，因而不能象研究离散型的手法一样用分布列来刻画它，那么如何描述连续型随机变量取值的统计规律性呢？,本节我们来研究一维随机变量取值的统计规律性。为此先考虑下面的例子。,解：X的分布函数为：,由此我们给出连续型随机变量的数学定义,那么称 为连续型随机变量，,定义,设F(x)是随机变量X的分布函数.,若存在一个非负函数f(x),对任意实数x,有,或概率密度或密度函数.,由上面的定义可得下面两个结果:,(1)在整个实轴上,F(x)是连续函数;,(2) 对f(x)的连续点,有,概率密度函数的性质：,(3),由(4)得,例2 已知连续型随机变量X的分布函数为：,(1)求常数A；,(3)求P(0.5X10)；,(2)求X的概率密度f(x)；,解,（1）由于F(x)是连续函数，,所以,故,（2）,其它,（3）,例3 连续型随机变量X的密度函数为：,求 (1)系数A；,(3),(2),解,（1）,故,（2）,例3 连续型随机变量X的密度函数为：,求 (1)系数A；,(3),(2),（3）,当,时,当,时,当,时,故,3.5 常用的连续型随机变量,1、均匀分布,设连续型随机变量X的密度函数为,解：,可见均匀分布的变量取值于a，b子区间的 概率的大小，只与子区间的长度成正比，而与子 区间的位置无关。,如果连续型随机变量X的概率密度函数,易知服从指数分布的随机变量的分布函数为,指数分布在可靠性问题中有广泛的应用。,2、指数分布,则称X服从参数为,的指数分布,记为,例2 设连续型随机变量X的密度函数为,试确定常数a,并求P(X1) .,解,于是X的密度函数为,Page 34 例3-4,如果连续型随机变量X的密度函数为,正态分布的随机变量的密度函数具有下列性质：,正态分布在理论上与实际应用中都是一个极其重要的分布。,3、正态分布,决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,下面介绍正态分布中十分重要的一类分布标准 正态分布。,是偶函数,称为标准正态分布。,证明,证明,例3,设,求,解,Page 36 例3-5,例4,设,求,解,Page 36 例3-6,（1）某天他迟到的概率；,（2）某周（5天记）他最多迟到一次的概率。,解,(1) 所求概率为,(2),设一周内迟到的次数为Y,则离散型随机变量Y,所求概率为,Page 37 例3-7,如图所示：,实数,满足条件,则称,为随机变量X的上侧,分位数。,对