随机变量的数字特征(1).ppt

第三章 随机变量数字特征,第一节 随机变量数学期望,第一段 基本知识,一、离散型随机变量数学期望 例：某手表厂在出厂产品中，抽查了N=100只手表日走时误差，其数据如下,抽查到的100只手表的平均日走时误差是多少？,第一段 基本知识,是事件日走时误差为k秒发生的频率fk。,即，平均值,第一段 基本知识,在求平均值时，理论上应该用概率pk去代替上述式子中的频率fk ，这时得到的平均值才是理论上的平均值。这个平均值称为数学期望简称期望（或均值）,第一段 基本知识,定义：设离散型随机变量X的概率分布为 如果级数 绝对收敛，则称该级数的和为随机变量X的数学期望(mathematical expectation)或均数(mean)，记为E(X)(有时简记为EX)，即,第一段、基本知识,例：设随机变量X的分布列为,求E(X)。,E(X)=6.4,第一段、基本知识,几常见离散型随机变量的数学期望： 1、两点分布：E(X)=p 2、二项分布：E(X)=np 3、泊松分布：E(X)=,第一段、基本知识,二、连续型随机变量的数学期望 定义：设连续随机变量X的密度函数为f(x)，若 存在，则称它为X的数学期望(或均值)，并为E(X)，即,第一段、基本知识,例：设随机变量X的密度函数为 求X的数学期望E(X)。,解：,第一段、基本知识,几个常见的边疆型随机变量的数学期望： 1、均匀分布：E(X)=(a+b)/2 3、指数分布：E(X)= 2、正态分布：E(X)=,第一段、基本知识,三、数学期望的性质 1、E(C)=C，其中C为常数。 2、E(kX+b)=kE(X)+b,其中k,b为常数。 3、E(XY)=E(X) E(Y) 4、当X与Y相互独立时， E(XY)=E(X)E(Y),第一段、基本知识,三、中位数、众数和分位数 （一）中位数。 定义：设X为任一随机变量，如果存在实数x，使得,同时成立，则称x为随机变量X的中位数(Median)，记为Me,且 已按大小顺序排列，若存在xk，使得 Pkpk-1和pkpk+1 同时成立，则称xk，为随机变量X的众数（Mode）,记作Mo。,第一段、基本知识,（二）众数。 定义：设X为离散型随机变量，分布列为,第一段、基本知识,定义：设X为连续型随机变量，密度函数为f(x)，若存在x，使得f(x)取得局部最大值，则称x为随机变量X的众数。,第一段、基本知识,（三）百分位数 定义：设X为随机变量，若存在实数x，使得 同时成立，则称x为随机变量X的分位数。记作x。,第一段、基本知识,定义：设X为随机变量，若存在实数x ，使得 则称x为随机变量X的上侧分位数。,第一段、基本知识,定义：设X为随机变量，若存在实数 ，使得 则称 为随机变量X的双侧分位数。,第一段、基本知识,第二节 方差、协方差和相关系数,例：设有甲、乙两种牌子的手表，它们的日走时误差分别为X、Y，分布列如下：,这时有E(X)=E(Y)=0。如何评判甲、乙两种牌子手表？,第一段、基本知识,我们采用一个数字指标来衡量它们之间的优劣。这个指标就是一个随机变量离开它的期望值的偏离程度。,如果X是要讨论的随机变量，E(X)是它的数学期望，这时|X-E(X)|就衡量了X和它的期望值之间的偏差大小，由于绝对值运算有许多不便之处，故采用X-E(X)2来衡量这个偏差。,第一段、基本知识,但X-E(X)2是一个随机变量，应该用它的平均值，即用EX-E(X)2这个数值来衡量X离开它的平均值E(X)的偏离程度。,定义：设X是一个随机变量，数学期望E(X)存在，如果EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为随机变量X的方差，记作D(X)，即D(X)=EX-E(X)2。 等价式子：D(X)=E(X2)-E(X)2,第一段、基本知识,方差计算公式： 1、设X为离散型随机变量，其分布律为 其方差公式为,第一段、基本知识,方差计算公式： 2、设X为连续型随机变量，其密度函数为f(x)。 其方差公式为,第一段、基本知识,方差计算例子： 1、设X、Y的分布列分别为： 求D(X)和D(Y),D(X)=0.2，D(Y)=1.2,第一段、基本知识,几个常见离散型随机变量的方差 1、两点分布：D(X)=pq 2、二项分布：D(X)=npq 3、泊松分布：D(X)=,第一段、基本知识,方差计算例子： 2、设X的密度函数为： 求D(X),D(X)=1/18,第一段、基本知识,几个连续型随机变量的方差 1、均匀分布：D(X)=(b-a)2/12 2、指数颁上：D(X)=1/ 2 3、正态分布N(,2)：D(X)= 2,二、协方差和相关系数,定义：设X，Y为两个随机变量，若,存在，则称其为X和Y的协方差（Covariance），记作Cov(X,Y),（一）协方差,（二）相关系数,定义：设X，Y为两个随机变量，若,存在，则称其为X和Y的相关系数(correlation Coefficient),第二段、提高篇,一、随机变量函数的数学期望 设X是一个随机变量，则随机变量Y=g(X)是关于X的函数，称为随机变量函数。,当X是离散型时，Y是离散型； 当X是连续型时，Y是连续型。,第二段、提高篇,例：设X的密度函数如下： 求常数A及E(X2-1)。,A=2， E(X2-1)=1/6,第三段 应用篇,在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每一个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验就需N次，现在