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第4章 随机向量及其概率分布,4.1 随机向量的联合分布 4.2 边缘分布 4.3 条件分布 4.4 随机变量的独立性 4.5 随机向量函数的分布,4.1 随机向量的联合分布,4.1.1 二维随机变量的联合分布函数 引例 假设某商店一天内的顾客人数X服从参 数为1000的Poisson分布;购买某种商品的人数 记为Y,若每个顾客购买这种商品的概率为 0.25,且各个顾客是否购买这种商品是相互独 立的。求一天有m个顾客进入商店且有n个顾客 购买这种商品的概率。,定义 设随机试验的样本空间为,X、Y为 定义在上的随机变量,则称(X,Y)为一个二维 随机向量。 若(X,Y)是一个二维随机变量,则称函数 F(x,y)=P(Xx,Yy) (等式右边表示随机事件Xx、Yy的乘积的 概率)为随机变量(X,Y)的(联合)分布函数。,二维随机向量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质: 0F(x,y)1且F(-,y)=F(x,-)=0, F(+,+)=1; 当x固定时F(x,y)是y的单调不减函数,当y 固定时F(x,y)是x的单调不减函数; F(x,y)最多有可列个间断点,且在间断点 (x0,y0)处关于x和y都是右连续。,例 已知(X,Y)的分布函数为 求: A、B; 概率P(0X1,0Y1)。,4.1.2 二维离散型随机向量 定义 若二维随机变量(X,Y)只可能取有限个 或可列个值,则称(X,Y)为二维离散型随机向量。 设二维离散型随机向量(X,Y)的一切可能取 值为(xi,yi),则称 P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,3, 为X与Y的联合分布律(列)或(X,Y)的概率分布。,离散型随机向量的联合分布律的表示方法: 公式法: P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,3, 列表法:,例 从分别标有1,2,2,3,3,4的6个球中任取3个 球,用X、Y分别表示其中的最小号码和最大号 码,求: X、Y的联合概率分布; 概率P(X+Y5)。 离散型随机向量的联合概率分布的性质: pij0; p11+p12+p1n+p21+p22+p2n+pn1+pn2+pnn+=1。,4.1.3 二维连续型随机向量 定义 对二维随机向量(X,Y),若存在非负可 积函数f(x,y),有 则称(X,Y)为二维连续型随机向量,f(x,y)为X与Y 的联合概率密度函数或(X,Y)的密度函数,简记 为(X,Y)f(x,y)。,连续型随机向量的密度函数f(x,y)的性质: f(x,y)0; 例 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函 数为 求:A;P(X+Y1)。,定理 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度 函数为f(x,y),联合分布函数为F(x,y)。则有 例 随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 求:A;P(XY);(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)。,例 随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 求:A;P(XY)。 定义 若随机向量(X,Y)的密度函数为 则称随机向量(X,Y)服从D上的均匀分布。,定义 若随机向量(X,Y)的密度函数为 则称随机向量(X,Y)服从二维正态分布,记为 (X,Y)N(1,2,12,12,r)。,4.2 边缘分布,4.2.1 边缘分布函数 定义 对二维随机向量(X,Y),随机变量X、Y 的分布函数称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数。 定理 若(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),则 (X,Y)关于X的边缘分布函数为FX(x)=F(x,+), (X,Y)关于X的边缘分布函数为FY(y)=F(+,y)。,4.2.2 二维离散型随机向量的边缘分布律 定义 若(X,Y)是二维离散型随机向量,则随 机变量X、Y的概率分布称为(X,Y)关于X、Y的边 缘概率分布。 定理 若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概 率分布为P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,3,,则 (X,Y)关于X的边缘概率分布为 pi=P(X=xi)=pi1+pi2+pij+,i=1,2,3,, (X,Y)关于Y的边缘概率分布为 pj=P(Y=yj)=p1j+p2j+pij+,j=1,2,3,,,求边缘概率分布时,可在表格上直接进行:,例 若离散型随机向量 (X,Y)的联合概率分布如右 求(X,Y)关于X、Y的边缘概 率分布。 例 若离散型随机向量 (X,Y)的联合概率分布如右 求(X,Y)关于X、Y的边缘概 率分布。,4.2.3 二维连续型随机向量的边缘密度 定义 若(X,Y)为二维连续型随机向量,则称 随机变量X、 Y的概率密度为(X,Y)关于X、Y的边 缘概率密度。 定理 若(X,Y)f(x,y),则(X,Y)关于X、Y的边缘 概率密度分别为:,例 若二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率 密度为: 求: c的值; (X,Y)关于X、Y的边缘概率密度。,4.3 条件分布,4.3.1 条件分布函数 定义 (X,Y)为二维随机向量,若对固定的x, 极限 存在,则称之为在X=x下Y的条件分布函数,记 为FY|X(y|x)。,定义 (X,Y)为二维随机向量,若对固定的y, 极限 存在,则称之为在Y=y下X的条件分布函数,记 为FX|Y (x|y)。,4.3.2 二维离散型随机向量的条件分布律 定义 设(X,Y)为二维离散型随机向量, 若对固定的xi,有PX=xi0,则称 为在条件X=xi下Y的条件分布列。 若对固定的yj,有PY=yj0,则称 为在条件Y=yj下X的条件分布列。,例 若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率 分布如右,求: 边缘分布; 在条件Y=2下 X的条件分布; 条件X=2下Y的 条件分布。,4.3.3 二维连续型随机变量的条件分布密度 定义 设(X,Y)为二维连续型随机向量, 若对固定的x,有fY(y) 0,则称 为在条件X=x下Y的条件分布。 若对固定的y,有fY(y) 0,则称 为在条件Y=y下X的条件分布。,例 若二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率 密度为: 求: (X,Y)关于X、Y的边缘密度函数; 在条件X=0下Y的条件密度函数; 条件密度函数fX|Y(x|y)。,4.4 随机变量的独立性,定义 设(X,Y)为二维随机向量,若对任意x、 yR,有 F(x,y)=FX(x)FY(y) 则称X与Y相互独立。 定理 若X与Y相互独立,则 FX|Y (x|y)=FX(x); FY|X (y|x)=FY(y)。,若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为 PX=xi ,Y=yj=pij,i,j=1,2,3,, 则X与Y相互独立的充要条件为:对任意i,j, pij=pipj 例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率分布 如右图: 且X与Y相互独立, 求a、b的值。,若连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),则X与Y相互独立的充要条件为: f(x,y)=fX(x)fY(y) 例 已知随机向量(X,Y)的联合概率密度为 判断X与Y是否相互独立。 例 已知Xe(1),Ye(2),且X与Y相互独立, 求P(XY)。,定义 设随机试验的样本空间为,X1、X2、 、Xn为定义在上的随机变量,则称(X1,X2, ,Xn)为一个n维随机向量。 若(X1,X2,Xn)是一个n维随机向量,则称 函数 F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn) 为随机向量(X1,X2,Xn)的(联合)分布函数。 函数 FXi(x)=P(Xix) 为随机向量(X1,X2,Xn)关于Xi的的边缘分布函数。,定义 若随机向量(X1,X2,Xn)的(联合)分布函 数F(x1,x2,xn)及其边缘分布函数FXi(x)满足 F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn) 则称X1、X2、Xn相互独立。 定理 若X1、X2、Xn相互独立,则其中任 意k个随机变量也相互独立,2kn 。,定义 若随机向量(X1,X2,Xm)、(Y1,Y2,Yn) 和(X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn)的(联合)分布函数分别 为F1(x1,x2,xm)、F2(y1,y2,yn)和F(x1,x2,xm,y1,y2,yn),且 F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn) 则称(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立。 定理 若(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立, 对任意函数g和h,则g(X1,X2,Xm)与h(Y1,Y2,Yn) 相互独立。,定理 若(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立, 记 则Ak与Ak、Ak与Bk、Bk与Ak、Bk与Bk相互独立。,4.5 随机向量函数的分布,定义 设(X,Y)是二维随机变量,Z是随机变量。 对连续函数g(x,y),若X=x和Y=y描述的事件发生 时,Z=g(x,y)描述的事件一定会发生,则称随机 变量Z为(X,Y)的函数,记为Z=g(X,Y)。 求二维随机变量(X,Y)的函数Z的分布时,常 把Z描述的事件转化为用(X,Y)表示。,4.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 例 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布 为 求X+Y、X-Y、XY、X/Y的概率分布。,总结 求离散型随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y) 的概率分布的步骤为: 把(X,Y)的取值代入z=g(x,y)中得到Z的所有 取值; 对Z的每一个取值z0,找出所有满足g(x,y)=z0 的(x,y),把对应的概率PX=x,Y=y相加得到 P(Z=z0)。 例 设Xg(p1),Yg(p2),且X与Y相互独立,求 X+Y的概率分布。,定理 对和的分布,重要的离散型分布的结 果: 设XB(n1,p),YB(n2,p),且X与Y相互独立, 则X+YB(n1+n2, p); 设XP(1),YP(2),且X与Y相互独立,则 X+YP(1+2)。 定义 若两个同种分布的随机变量的和仍服从 这种分布,并且和的参数等于参数的和,则称这 种分布具有可加性或再生性。,4.5.2 二维连续型随机向量函数的分布 已知(X,Y)f(x,y),g(x,y)为已知函数,求 Z=g(X,Y)的概率密度的步骤为: 把FZ(z)转化为用(X,Y)表示(其中Dz为区域或 者几个区域的并):FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=P(X,Y)Dz); 计算积分FZ(z)=P(X,Y)Dz 对FZ(z)求导得到Z的概率密度。 这种方法一般称为分布函数法。,

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