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第三章,微分中值定理与导数的应用,一、函数的极值及其求法,第五节 函数的极值与最大值最小值,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.,定理1(必要条件),由费马引理可知，,导数等于零的点称为驻点.,对可导函数来讲,极值点必为驻点,但驻点只是极值点的必要条件,不是充分条件.,另一方面, 不可导点也可能是极值点,这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.,我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值嫌疑点.,下面给出两个充分条件,用来判别这些嫌疑点是否为极值点.,定理2(极值存在的第一充分条件),一阶导数变号法,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,例2,解,定理3(极值存在的第二充分条件),称为“二阶导数非零法”,(1)记忆:几何直观；,说明：,(2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；,例3,解,图形如下,(1) 确定函数的定义域；,(4) 用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形.,求极值的步骤:,(3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)；,二、函数的最大值、最小值问题,极值是局部性的,而最值是全局性的.,具体求法：,例4,解,计算,比较得,更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有惟一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点.,则若为极小值点必为最小值点，若为极大值点必为最大值点；,说明:,将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？,设小正方形的边长为x，,则方盒的容积为,例5,解,将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？,求导得,设小正方形的边长为x，,则方盒的容积为,例5,解,将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？,求导得,设小正方形的边长为x，,则方盒的容积为,解,例5,要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？,设底半径为r, 高为h，,总的表面积为,例6,解,即表面积最小.,即高与底面直径相等.,由实际问题,此时表面积最小.,例7,解,利用最值证明不等式。,例8,解,分析 数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化为连续函数,再求导.,利用对数求导法,得
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