微分方程基本概念(1).ppt

一、引言,对自然界的深刻研究,傅里叶,微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到,所研究的变量之间的函数关系,却,比较容易建立起,这些变量与它们的导数或微分之间,的联系,从而得到一个,方程,即微分方程.,通过求解这种方程,同样可以找到,指定未知量之间的函数关系.,因此,微分方程是数学联,系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科,关于未知函数的导数或微分的,是数学最富饶的源泉.,一、引言,下面的例子说明，,实际问题中较容易建立起来的,是各个学科,进行科学研究的强有力的工具.,例： 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为,Q且线段 PQ 被 y 轴平分,求此曲线所满足的方程。,方程往往是它们的导数、自变量或函数之间关系,的方程。,求此曲线所满足的方程 .,已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 设所求的曲线为y(x), 如图所示,曲线上的,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,一、引言,系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科,进行科学研究的强有力的工具.,如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、,了,解和知晓现实世界的工具”,那么微分方程就是显示,数学的这种威力和价值的一种体现.,现实世界中的许,多实际问题,都可以抽象为微分方程问题.,例如,物体,的冷却、,琴弦的振动、,电磁波的传播等,都可以归结为微分方程问题.,这时微分方程也称为,所研究问题的数学模型.,人口的增长、,一、引言,都可以归结为微分方程问题.,这时微分方程也称为,所研究问题的数学模型.,一、引言,微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论,体系.,本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念,种常用的微分方程的求解方法,线性微分方程解的理,论.,几,都可以归结为微分方程问题.,这时微分方程也称为,所研究问题的数学模型.,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程， 叫做微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.,二、基本概念,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.,常微分方程, 偏微分方程.,一阶微分方程,高阶微分方程,微分方程的概念,常微分方程的一般形式是:,是未知函数,必须出现,而其余变量可以不出现,其余变量都没有出现.,就得到微分方程,如果,解出最高阶导数,以后我们讨论的微分方程,微分方程的概念,以后我们讨论的微分方程,微分方程的概念,以后我们讨论的微分方程,程,在所讨论的范围内,连续.,知函数.,统称为非线性微分方程.,例1,设一物体的温度为,根据冷却定律:,温度的变化率,的函数关系为,将其放置在空气,物体,与物体和当时空气温度之差成正比,这就是,物体冷却的数,根据题意,还需满足条件,学模型.,例2,始自由垂直降落.,根据牛顿第二定律:,等于物体的质量,即,由静止开,物体所受的力,朝下,物体下落的起点为原点,间是,并设开始下落的时,这就是,学模型.,根据题意,自由落体运动的数,还需满足条件,其正向,例3,试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程,的阶数.,解,(1),是一阶线性微分方程,因方程中含有的,(2),是一阶非线性微分方程,因方程中含有的,的平方项.,例3,试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程,的阶数.,解,例3,试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程,的阶数.,解,(3),是二阶非线性微分方程,因方程中含有的,的三次方.,(4),是二阶非线性微分方程,因方程中含有非线性,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数.,微分方程的解的分类：,(1) 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.,满足,(2) 特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图像: 微分方程的积分曲线.,通解的图像: 积分曲线族.,微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程,的积分曲线.,微分方程解的概念,例如,在例1和例2中，可以验证函数,和,都是微分方程,的解,常数;,而函数,和,分别为其微分方程的特解,微分方程解的概念,一般地,微分方程的不含有任意常数的解,称为微,分方程的特解.,含有相互独立的任意常数,且任意常,数的个数,与微分方程的阶数相等的解,称为微分方程,的通解(一般解).,所谓通解的意思是指:,当其中的任意,常数取遍所有实数时,(至多有个别例外).,注:,这里所说的相互独立的任意常数,是指它们,不能通过合并,而使得通解中的任意常数的个数减少.,微分方程解的概念,许多实际问题,都要求寻找满足某些附加条件的解,此时,这类附加条,常数,这类附加条件,称为初始条件,也称为定解条件.,一般地,件为,二阶微分方程,的初始条件为,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.,带有初始条件的微分方程,称为微分方程的初值,问题.,微分方程解的概念,求微分方程,二阶微分方程的,初值问题,其几何意义是:,求微分方程的通过点,且在该,例4,其中,为任意常数.,解,求曲线族所满足的方程,就是求一微分方程,所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.,此所求的微分方程的阶数应与,常数的个数相等.,这里,法来得到所求的微分方程.,已知曲线族中的任意,我们通过消去任意常数的方,得,再从,解出,代入上式得,使,因,化简即得到所求的微分方程,例5,验证函数,是方程,的通解,并求,解,要验证一个函数是否是方程的通解,函数代入方程,看是否恒等,独立的任意常数,的个数是否与方程的阶数相同.,只要将,再看函数式中所含的,将,求一阶导数,得,例5,验证函数,是方程,的通解,并求,解,例5,验证函数,是方程,的通解,