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文档简介

常微分方程,第八章,第八章,常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动，演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。因此微分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第八章,引例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = f(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x ,求该曲线的方程 .,一、引例,例2 一质量为m的物体在重力作用下作自由落体运动，假设开始计时(t=0)时物体已下落 s0，且其速度为v0,试求该物体的运动规律.,解：设物体的运动方程为s=s(t),由牛顿第二定律有,且未知函数s=s(t)满足条件,若在一个方程中涉及的函数是未知的，自变量仅有一个，且在方程中含有未知函数的导数（微分），则称这样的方程为常微分方程，简称微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,( n 阶显式微分方程),二、微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,或,某个函数代入微分方程后，能成为自变量的恒等式，则称这个函数为微分方程的解.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 用来确定通解中任意常数的附加条件.,的阶数相同.,特解, 不含任意常数的解.,初始条件,一个微分方程与初始条件构成的问题，称为初值问题，求解初值问题，就是求方程的特解.,1、 微分方程概念、微分方程的阶 2、 微分方程的解
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