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文档简介

第十章 微分方程,10.1 微分方程的基本概念 10.2 一阶微分方程 10.4 高阶常系数线性微分方程,2,问题的提出,基本概念,第一节 微分方程的基本概念,3,解,可直接积分的方程,例,一曲线通过点,且在该曲线上任一点,处的切线的斜率为,求这曲线的方程.,一、问题的提出,设所求曲线为,所求曲线方程为,4,解,可直接积分的方程,例,列车在平直的线路上以,的速度行驶,当制动时列车获得加速度,问开始制动,后多少时间列车才能停住?,以及列车在这段时间,内行驶了多少路程?,设制动后 t 秒钟行驶 s 米,5,故,得到开始制动到列车完全停住共需时间,得到列车在这段时间内行驶的路程,6,如,二、基本概念,凡含有未知函数的导数(或微分)的方程称,未知函数是一元函数的方程为,方程中所出现的导数的最高阶数称,微分方程.,常微分方程;,微分方程的阶.,一阶,一阶,二阶,7,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为,微分方程的解.,微分方程的解的分类,(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意,常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2) 特解,确定了通解中任意常数以后的解.,如方程,通解,通解,特解,特解,8,初始条件,用来确定任意常数的条件.,通解和特解是一般和特殊的关系.,曲线通过点(1, 2).,如前例,初值问题(柯西问题),求微分方程满足初始条件的解的问题.,解的图象,通解的图象,微分方程的积分曲线.,积分曲线族.,9,是过定点的积分曲线;,一阶,二阶,是过定点且在定点的切线的斜率为定值,几何意义,几何意义,定值的积分曲线.,一般的n阶微分方程为,已解出最高阶导数的微分方程,今后讨论,10,解,例,的表达式代入原方程,并满足初等条件,11,所求特解为,且为,通解.,而,是原方程的解,12,试求下列微分方程在指定形式下的解:,例,解,得,得,代入
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