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微分方程,第七章, 积分问题, 微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,首先我们通过几个实例说明什么是微分方程，及有关概念,例1：,曲线上任意一点处的切线斜率等于该点的横坐标的平方，且曲线过原点，求曲线的方程。,解.,设曲线方程为,（未知函数）,已知：,微分方程,一阶方程,初始条件,求,积分：,通解,将 x=0, y=0 代入通解，得：,C = 0,所求曲线方程为：,特解,微分方程是通过积分来求解。,引例2. 列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,问开始制动后多少时间列车,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,即求 s = s (t) .,制动时,才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程？,求,已知,积分：,再积分：,通解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,通解,微分方程：,含有未知函数的导数或微分的方程,现在， 我们给出微分方程的定义，以及有关概念。 详见 教材 P285-297,方程的阶：,方程中未知函数的最高阶导数的阶数,一阶,二阶,五阶,( n 阶显式微分方程),一般地 , n 阶常微分方程的形式是,或,方程的解：,满足微分方程的函数,例如,是方程,的解,是方程,的解,方程的通解：,n 阶微分方程的含有 n 个独立任意常数的解,例如,是方程,的通解,是方程,的通解,即常数不能合并而使得任意常数的个数减少,方程的特解：,没有任意常数的解,例如,是方程,的特解,是方程,的特解,通解中的任意常数可由初始条件确定：,通解,的几何意义：积分曲线,在横坐标相同的点处，,各积分曲线有平行的切线,积分曲线彼此“平行”，两两不相交,微分方程的通解代表一族曲线， 称为方程的积分曲线,特解：,积分曲线两两不相交,经过原点只有唯一的积分曲线,积分曲线,微分方程的初值问题：,一阶微分方程的 初值问题：,曲线过点（ ）,二阶微分方程的 初值问题：,曲线过点 （ ）,曲线在点（ ）处的斜率为,解,所求特解为,验证：,是方程,解：,隐函数求导：,原方程,是原方程方程的通解,为隐式解,的通解,例4,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,二、小结,思考题
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