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文档简介
,10.1 微分方程的基本概念,Basic concept of differential equations,三、微分方程的解,一、问题的提出,二、微分方程的定义,微,积,分,电,子,教,案,引例 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x, 求该曲线的方程。,解:,设所求曲线方程为:y = f(x),两边对x求积分:,即 y=x2+C,将x=1,y=2代入,得:2=1+C,即 C=1,故所求曲线为:y=x2+1,一、问题的提出,由题意得:,定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。,2.1、微分方程,二、微分方程的定义,定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。,如:,2.1、微分方程,二、微分方程的定义,未知函数是多元函数,即含有偏导数的微分方程,称为偏微分方程,未知函数是一元函数的微分方程 常微分方程,定义2 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数,称为微分方程的阶。,二阶微分方程,n阶微分方程的一般形式为:,F(x,y,y,y,y(n)=0,一阶微分方程,二、微分方程的定义,2.2、微分方程的阶,二、微分方程的定义,2.3、微分方程的分类,分类1: 常微分方程, 偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3: 线性(未知函数及其导数都是一次) 非线性微分方程,分类4: 单个微分方程 与微分方程组.,定义3 若将某函数及其导数代入微分方程, 可使方程成为恒等式, 则称此函数为微分方程的解,三、微分方程的解,3.1、微分方程的解,三、微分方程的解,例1 验证下列函数都是微分方程 y2y+y=0 的解.,解:,代入原方程, 是原方程的解.,代入原方程:, 是原方程的解.,三、微分方程的解,例1 验证下列函数都是微分方程 y 2y+y=0 的解.,解:,代入原方程:, 是原方程的解.,解的线性组合也是解,y=0也是解。,均为解,有何区别?, 通解:,微分方程的解中含有任意常数,这些常数相互独立(即不能合并了),且个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解。,3.2、通解与特解,三、微分方程的解, 特解:,确定了通解中任意常数的解。,例1中:,通解,特解,既非通解,也非特解,是个解。,奇解(但不是特解,不研究),通解:通用的解,含有任意常数;特解:特殊的解,不含有任意常数, 通解:,微分方程的解中含有任意常数,这些常数相互独立(即不能合并了),且个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解。,3.2、通解与特解,三、微分方程的解, 特解:,确定了通解中任意常数的解。,特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解,称为定解条件,也称为初始条件,一般地,n阶微分方程就有n个定解条件,三、微分方程的解,求特解步骤:先求通解,代入初始条件,确定通解中任意常数的值,可得特解。,微分方程,微分方程的通解,定解条件,如引例,求解得:,微分方程的特解,三、微分方程的解,解的图像: 微分方程的积分曲线.,通解的图像: 积分曲线族.,3.3、微分方程解的几何意义,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.,解,例3 验证:函数 是微分 方程 的解. 并求满足初始条件 的特解.,三、微分方程的解,所求特解为,练习:,为微分方程的特解.,三、微分方程的解,函数 是微分方程 的解吗?如是解,请问是什么解?,10.2 一阶微分方程,Basic concept of differential equations,三、齐次方程,一、一阶微分方程的形式,四、一阶线性微分方程,微,积,分,电,子,教,案,二、可分离变量的微分方程,一般形式: F(x, y, y ) =0,正规型:,微分型: f(x,y)dx+g(x,y)dy=0,如:,下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法,包括:可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程。,一、一阶微分方程的形式,y= f( x, y ),形式:,即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分离在等式两边(或已分离开来).,解法:直接积分。,例1、求通解:,解:两边积分,故原方程的通解为:,2.1、已分离变量的微分方程,二、可分离变量的微分方程,例2 求通解:,解:两边积分得:,二、可分离变量的微分方程,故原方程的通解为:,结论1: 通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.,形式:,二、可分离变量的微分方程,2.2、可分离变量的微分方程,解法:先分离变量,再两边积分即可。,或,例3 解微分方程,解:先分离变量,,二、可分离变量的微分方程,再两边积分,故原方程的通解为,二、可分离变量的微分方程,若积分后出现对数,则可将任意常数写成 lnC 的形式,以利化简.,例3 解题过程可简化为:,先分离变量:,再两边积分,解:,二、可分离变量的微分方程,例4 求方程,满足初始条件y(1)=2的特解.,分离变量,积分得:,故通解为:,将x=1,y=2代入通解,故所求特解为:,得:C=10,例5 已知某商品的需求量Q对价格p的弹性为ep=-0.02p,且该商品最大需求量为240,求需求函数Q=Q(p).,解: 依题意,得:,二、可分离变量的微分方程,整理得:,积分得:,将p=0,Q=240代入, 得: C=240,故求需求函数为:,例6 设f (x)在(-,+)连续,且满足:,求f(x).,注:积分方程求导后化为微分方程; 注意隐条件.,二、可分离变量的微分方程,解:原方程对x求导:,即:,分离变量得:,两端积分得:,由原方程可知:f (0)=0 代入通解 C =2,故,解:f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y),故是齐次函数,且是3次齐次函数;,故是齐次函数,且是0次齐次函数.,三、齐次方程,3.1、齐次方程的引入,3.2、齐次方程及其解法,标准形式:,常见形式:如,三、齐次方程,化为标准形式,定义:微分方程 中,若 为0次齐次函数, 则称该方程为齐次微分方程, 简称为齐次方程.,关于y的微分方程,代入原方程, 得:,关于u的微分方程,分离变量,得:,积分、整理得通解:,回代得:,是的解。,三、齐次方程,解:,分离变量得:,三、齐次方
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