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文档简介

3.3 泰勒(Taylor)级数展开,通过对幂级数的学习,我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题,就是:任何一个解析函数是否能用幂级数来表示?这个问题不但有理论意义,而且很有实用价值。 实变函数可展开为泰勒级数的条件是存在任意阶导数;而解析函数的性质之一正是存在任意阶导数,因此解析函数可展开为复变项的泰勒级数。,一、定理(泰勒定理): 设f(z)在以z0为圆心的圆域 CR内解析,则对于圆内任意 z点,f(z)可展开为幂级数 其中 CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆,证明:由柯西公式 将 展开为幂级数 且,代入柯西公式,逐项积分 的每一项都是z的解析函数,且在其收敛圆内任一同心闭圆上一致收敛。,讨论: 1. 收敛范围: 对给定z0点,找f(z)最靠近z0的奇点z1 ,一般 即|z1-z0|为收敛半径。 2. 解析函数的又一充要条件: f(z)在区域B内解析,当且仅当f(z)在B内任一点的某邻域内可展开成幂级数。 3. 展开系数的唯一性。,二、将函数展开成泰勒级数的方法 泰勒展开定理本身提供了一种展开方法,即求出f(n)(z0)代入即可,这种方法称为直接展开法。 当f(z)较复杂时,求f(n)(z0)比较麻烦,根据泰勒展开式的唯一性,通常用间接展开法,即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开。,初等函数幂级数展开式举例:,例1:将f(z)=ez在z=0处展开 f(z)=ez在复平面上解析(整函数) 例2:将cosz、sinz在z=0处展开 利用ez的展开式,可得,奇次幂全部消去 同理,例5:把函数 表示成形如 的幂级数,其中a、b是不相等的常数。 则当 时,有,收敛半径为R=|b-a|,收敛圆为|z-a| |b-a| 例3:f(z)=lnz,在z0=1处展开 f(z)=lnz是多值函数,如理解为定义在黎曼 面上,则可看成单值解析函数。 支点为:0, z0=1不是支点,以z0=1为中心展开时,邻域 内不能包含支点,这样各单值分支相互独立, 各自可看成单值解析函数。,离z0=1最近的支点为z=0 收敛半径取R=1,收敛圆为|z-1| 1 而,令z=1代入,得C=ln1=ln|1|+n2i=n2i (n=0,1,2,.) 其中n=0时为主值 例4:arctgz,在z0=0点展开,令z=0,得C=f(0)=arctg0=k 例5:函数 在z0=0点展开 在|z|1内解析 将两式按对角线相乘,得,例6:把函数 展开成z的幂级

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