泰勒级数与幂级数(上.ppt

,微,积,分,电,子,教,案,11.4 泰勒级数与幂级数,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的性质,四、泰勒级数,五、函数展开成幂级数,1.定义,一、函数项级数的概念,设 是定义在 上的函数,则 称为定义在区间 上的(函数项)无穷级数.,对于每一个 ，函数项级数 就是一个常数项级数,2.收敛点与收敛域,一、函数项级数的概念,如果 ，常数项级数 收敛, 则称 为级数 的收敛点，否则称为发散点. 函数项级数 的所有收敛点的全体称为收敛域，所有发散点的全体称为发散域.,当 时，收敛；,收敛域：,当 时，发散；,发散域：,余项,3.和函数,若函数项级数的部分和,例如：,在收敛域：,其和函数为：,注意：级数的收敛域未必等于和函数的定义域,一、函数项级数的概念,在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ，称 为函数项级数的和函数。,二、幂级数及其收敛性,2.1、定义, (x-x0) 的幂级数:,x的幂级数:,其中 为幂级数系数.,称为x1的幂级数,由于收敛域与发散域互补,下面只研究收敛域.,二、幂级数及其收敛性,2.2、幂级数的敛散性特点,定理2,此时幂级数的收敛区间有以下四种可能：,如果幂级数 不是仅在 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 存在,它具有下列性质:,当 时,幂级数绝对收敛; 当 时,幂级数发散; 当 时,幂级数可能收敛也可能发散.,二、幂级数及其收敛性,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,要求幂级数的收敛区间，关键求实数R,2.3、幂级数的收敛半径与收敛区间,二、幂级数及其收敛性,定理3 如果幂级数 的所有系数 , 设 （或 ） （1）则当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， 。,解：,所以收敛半径 R=3,例1. 求 的收敛半径,根据系数的表达式，也可以,二、幂级数及其收敛性,二、幂级数及其收敛性,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,二、幂级数及其收敛性,是发散的,是收敛的,故收敛区间为(0,1.,二、幂级数及其收敛性,二、幂级数及其收敛性,定理3 如果幂级数 的所有系数 , 设 （或 ） （1）则当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， 。,注意：如果幂级数 中奇次项或偶次项系数 为零，则不能利用该定理确定收敛半径。,解：,缺少偶次幂的项,级数收敛,二、幂级数及其收敛性,例3 求幂级数 的收敛域.,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,二、幂级数及其收敛性,为什么？,解：,二、幂级数及其收敛性,例4,练习： 收敛区间为-2,2, (-2,2), (-2,2, -2,2),注意: 求幂级数的收敛区间,通常先求级数的收敛半径,得到级数绝对收敛的一个开区间；,求收敛半径的方法：比(根)值法、系数法(局限性),然后判断级数在区间端点的敛散性(数项级数),最后得到收敛区间,二、幂级数及其收敛性,解:,级数发散.,二、幂级数及其收敛性,级数收敛.,解:,收敛.,二、幂级数及其收敛性,发散.,(*),对于(*),3.1、和函数,三、幂级数的性质,在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ，称 为函数项级数的和函数。,三、幂级数的性质,3.2、和函数的可加性,收敛区间为（-1,1）,三、幂级数的性质,3.3、和函数的连续性,(收敛半径不变，收敛区间可能改变。）,三、幂级数的性质,3.4、逐项可导性,(收敛半径不变，收敛区间可能改变。）,三、幂级数的性质,3.4、逐项可积性,上式两边积分得：,于是,幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变，但是收敛区间可能改变。,逐项积分后，收敛半径没变，收敛区间改变了。,三、幂级数的性质,由于我们已知收敛的几何级数的求和公式，所以对于幂级数求和函数，总设法将级数的一般项转化为几何级数的通项，方法就是逐项积分或微分。,1、求收敛半径，并设其和函数为 S（x）,2、求积分，使其转化为几何级数，然后求和,3、对 逐项求导，得到和函数,对,4、考察原级数端点的敛散性，得收敛区间,求和函数的方法,三、幂级数的性质,解：,三、幂级数的性质,例4,发散;,发散;,故幂级数的收敛区间为,解：,三、幂级数的性质,例4,上式求导：,解：,三、幂级数的性质,例4,解,三、幂级数的性质,收敛;,发散;,故幂级数的收敛区间为,解,两边积分得,三、幂级数的性质,解：,三、幂级数的性质,例6,发散;,收敛;,故幂级数