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用一阶导数的单调性来判断 曲线的凹凸性,华阳 南湖 18MAR12,一般高等数学教材都是二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性。 但是，我们也可以用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性，这种方法有很直观的几何解释，其证明也更简单。,凹弧的定义：,凸弧的定义：,如何判断曲线的凹凸？,设曲线弧上凹,单增,Concave upward,下凸,设曲线弧上凸,单减,Concave downward,下凹,反之，能否由一阶导数的单调性或二阶导数的符号来判断曲线的凹凸？ 答案是肯定的。 先证明一个引理。,引理 （利用一阶导数的单调性判断凹凸性） 设函数 f(x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内可导，那么 若在 (a, b) 内 f (x) 单调增加， 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凹的。 (2) 若在 (a, b) 内 f (x) 单调减少， 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凸的。,设,欲证：,区间 (x1, x2) 的中点,或,或,欲证：,由Lagrange中值定理,（1）,不等式（1）成立。,欲证：,（1）,不等式（1）成立。,同理可证,定理 2 (曲线凹凸性的判定定理） 设函数 f(x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 内二阶可导，那么 若在 (a, b) 内 f (x) 0， 则曲线 y = f(x)在 a, b 上是凹的。 (2) 若在 (a, b) 内 f (x) 0， 则曲线 y = f(x)在 a, b
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