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函数的最大值与最小值,高三数学选修()第三章 导数与微分,函数的最大值与最小值,O,x,y,Y=f(x),a,b,x1,x2,x3,极小值f(x1),极大值f(x2),极小值f(x3),最大值f(b),最小值f(x3),1.函数最值的概念,定义:可导函数 在闭区间a,b上所有点处的函数值中最大(或最小)值,叫做函数 的最大(或最小)值。 一般地,在闭区间上连续的函数 在a,b上必有最大值与最小值。,若改为 (a,b)?,举例说明,函数 在 (0,)内连续。,2.求可导 函数在a,b上最值的方法。,例1:求函数 在区间-2,2上的最大值与最小值。,解:,令,有,解得:,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,从上表可看出,最大值是13,最小值是4。,2.求可导 函数在a,b上最值的方法。,例1:求函数 在区间-2,2上的最大 值与最小值。 图象,【解题回顾】,设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内,可导,求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤:,(1)求f(x)在(a,b)内的极值;,(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的,一个是最大值,最小的一个是最小值。,【对应练习】,求下列函在所给的区间上的最大值与最小值。,(1)y=x-x3 x0,2,(2)y=x3+x2 -x x-2,1,【解题回顾】在求函数f(x)在a,b最值过程中,判断极值比较麻烦,可改求可导函数在(a,b)内导数为0点函数值,再把这些值与函数在端点的值比较即可。,几何画板,例2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起如下图,做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时?箱子容积最大?最大容积是多少?,【解题回顾】,1.求最大(小)值应用问题的一般方法:,分析、联系、抽象、转化,数学方法,数学结果,实际结果,回答问题,实际问题,建立数学模型 (列数学关系式),解决应用性问题的关键是读题懂题建立数学关系式。,2.在实际问题中,有时会遇到在区间内只有一个点 使导数为0的情形,如果函数在这点有极大(小)值, 那么不与端点的值比较,也可以知道这就是最大 (小)值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。,【对应练习】圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面径应样选取时,才能使所用的材料最省?,解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积 S=2Rh+2R2 由V=R2h,得h= ,则 S(R)= 2R + 2R2= +2R2 令 S(R)= +4R=0 解得,R= 从而h= = = =2 即 h=2R 因为只有一个极值,所以它是最小值。 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省。,【反馈练习】,1.函数 在-3,4上的最小值为( ) A、-64 B、-51 C、-56 D、-61 2.函数 在上的最大值为( ) A、2+2 B、4 C、 D、5 3函数 在 时的最 大、最小值分别是 。 4教材P139 练习1、2(课后完成)。,D,B,【课堂小结】,(1)利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定;,(2)若连续函数在闭区间上只有一个导数 为0的点,且在这一点有极值,则该极值就 是函数在上的最值;,(3)导
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