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文档简介

3.1.2 用二分法求方程的近似解,中央电视台 “幸运52” 有奖竞猜,问题情境:,猜一猜它的价格,¥55,可得:方程x2-2x-1=0 一个根x1在区间(2,3)内, 另一个根x2在区间(-1,0)内,问题不解方程,如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解(精确到0.1)?,由此可知:借助函数f(x)= x2-2x-1的图象, 我们发现f(2)=-10,这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次,可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.,画出y=x2-2x-1的图象,如图,思考:如何进一步 有效缩小根所在的区间?,由于|2.375-2.4375|0.1,停止操作,所求近似解为2.4。 数离形时少直观,形离数时难入微!,构建数学:,f(2.5)=0.250, f(2.25)= -0.43750, f(2.375)= -0.23510, f(2.4375)= 0.1050, |2.375-2.4375|0.1, x12.4,解:设f (x)=x2-2x-1,设x1为其正的零点,问题能否描述二分法?,对于在区间a,b上连续不断,且f (a)f (b)0的函数y=f (x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两端点逐步逼近零点,进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法。,数学建构,问题:二分法实质是什么?,用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近思想逐步缩小零点所在的区间。,例题:利用计算器,求方程2x=4-x的近似解 (精确到0.1),怎样找到它的解所在的区间呢?,在同一坐标系内画函数y=2x 与y=4-x的图象,如图:,提问:能否不画图确定根所在的区间?,得:方程有一个解x0 (0,4),如果画得很准确,可得x0 (1,2),数学运用,解:设函数f (x)=2x+x-4,则f (x)在R上是增函数f (0)= -30, f (x)在(0,2)内有惟一零点, 方程2x+x-4 =0在(0,2)内有惟一解x0。,由f (1)= -10得:x0(1,2),由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10得:x0(1,1.5),由f (1.25)= -0.370得:x0(1.25,1.5),由f (1.375)= -0.0310得:x0(1.375,1.5),由f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0得:x0(1.375,1.4375), |1.375-1.4375|0.1, x01.4,用二分法求函数零点近似值的基本步骤:,3. 计算f(c): (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)f(c)0 ,则令b=c,此时零点 x0(a,c); (3)若f(c)f(b)0 ,则令a=c,此时零点 x0(c,b).,2. 求区间(a,b)的中点c;,1确定区间a,b,使f(a)f(b)0 ,给定精度;,4. 判断是否达到精确度:若 ,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤 24,练习1: 求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01),画y=x3+3x-1的图象比较困难,,变形为x3=1-3x,画两个函数的图象如何?,有惟一解x0(0,1),练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是 ( ),C,问题:根据练习2,请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么?,1、函数y=f (x)在a,b上连续不断。,2、 y=f (x)满足 f (a)f (b)0,则在(a,b)内必有零点,思考

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