2019高中数学第三章两条直线的交点坐标、两点间的距离讲义（含解析）.docx

第1课时两条直线的交点坐标、两点间的距离核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P102P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程AxByC0的解有什么样的关系？提示：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解反之直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：若方程组无解，则l1l2；若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；若方程组有无数解，则l1与l2重合(3)已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|?提示：当x1x2，y1y2时，|P1P2|x2x1|；当x1x2，y1y2时，|P1P2|y2y1|；当x1x2，y1y2时，|P1P2| .2归纳总结，核心必记(1)两条直线的交点坐标求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系一般地，直线l1：A1xB1yC10和直线l2：A2xB2yC20的位置关系如表所示：方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行(2)两点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|特例若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|问题思考两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|的形式？提示：可以，原因是，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)如何求两条直线的交点坐标，怎样判断两条直线的位置关系？；(2)两点间的距离公式是什么？怎样应用？.观察图形，思考下列问题：思考1在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点思考2如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可思考3两条直线相交的条件是什么？名师指津：两直线相交的条件：(1)将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相交(2)设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2相交的条件是A1B2A2B10或(A2，B20)(3)若两直线斜率都存在，设两条直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1与l2相交k1k2.讲一讲1求经过两直线l1：3x4y20和l2：2xy20的交点且过坐标原点的直线l的方程(链接教材P103例2)尝试解答法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，其斜率k1.故直线l的方程为yx，即xy0.法二：l2不过原点，可设l的方程为3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0,0)代入上式，得1，直线l的方程为5x5y0，即xy0.(1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二：两直线斜率都存在且斜率不等方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在(2)过两条直线交点的直线方程的求法常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程练一练1判断下列各对直线的位置关系若相交，求出交点坐标：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：xy20，l2：2x2y30.解：(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(1，1)(2)解方程组2，得10，矛盾，方程组无解所以直线l1与l2无公共点，即l1l2.2(2016潍坊高一检测)求经过直线l1：x3y30，l2：xy10的交点且平行于直线2xy30的直线方程解：法一：由得直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2xy30的直线方程为2xyc0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c1，故所求的直线方程为2xy10.法二：设过直线l1、l2交点的直线方程为x3y3(xy1)0(R)，即(1)x(3)y30，由题意可知，2，解得，所以所求直线方程为xy0，即2xy10.观察下面图形：图1图2思考1如何求图1中A、B两点间的距离？提示：|AB|xAxB|.思考2图2中能否用数轴上两点A，B间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解思考3怎样理解两点间的距离公式？名师指津：对两点间距离公式的理解：(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|，利用此公式可以将几何问题代数化(2)当直线P1P2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：直线P1P2平行于x轴时|P1P2|x2x1|；直线P1P2平行于y轴时|P1P2|y2y1|.讲一讲2已知ABC三顶点坐标A(3,1)、B(3，3)、C(1,7)，试判断ABC的形状尝试解答法一：|AB|2，|AC|2，又|BC|2，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形法二：kAC，kAB，则kACkAB1，ACAB.又|AC|2，|AB|2，|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形1计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解2解答本题还要注意构成三角形的条件练一练3保持讲2条件不变，求BC边上的中线AM的长解：设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x2，y2，即点M的坐标为(2,2)由两点间的距离公式得|AM|，所以BC边上的中线AM的长为.讲一讲3如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程思路点拨先求出原点关于l的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程尝试解答设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得A的坐标为(4,3)反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(4,3)，两点纵坐标相等故反射光线所在直线方程为y3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y3.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(4,3)知，|AP|4(4)8，光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题(1)点A(x0，y0)关于直线l：AxByC0的对称点M(x，y)，可由方程组求得(2)常用对称的特例有：A(a，b)关于x轴的对称点为A(a，b)；B(a，b)关于y轴的对称点为B(a，b)；C(a，b)关于直线yx的对称点为C(b，a)；D(a，b)关于直线yx的对称点为D(b，a)；P(a，b)关于直线xm的对称点为P(2ma，b)；Q(a，b)关于直线yn的对称点为Q(a,2nb)练一练3求点A(2,2)关于直线2x4y90的对称点坐标解：设B(a，b)是A(2,2)关于直线2x4y90的对称点，则有AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线上解得a1，b4.所求对称点坐标为(1,4)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系2本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见讲1.(2)计算两点间距离的方法，见讲2.(3)点关于直线对称问题的解决方法，见讲3.3本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如讲1,3.课下能力提升(二十)学业水平达标练题组1两条直线交点的坐标1下列各直线中，与直线2xy30相交的是()A2axay60(a0) By2xC2xy50 D2xy30解析：选D直线2xy30的斜率为2，D选项中的直线的斜率为2，故D选项正确2(2016佛山高一检测)若两直线l1：xmy120与l2：2x3ym0的交点在y轴上，则m的值为()A6 B24C6 D以上都不对解析：选C分别令x0，求得两直线与y轴的交点分别为：和，由题意得，解得m6.3经过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线的方程是()A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy80解析：选A首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为2，可得方程y62(x1)，即2xy80.4分别求经过两条直线2xy30和xy0的交点，且符合下列条件的直线方程(1)平行于直线l1：4x2y70；(2)垂直于直线l2：3x2y40.解：解方程组得交点P(1,1)(1)若直线与l1平行，k12，斜率k2，所求直线方程为y12(x1)，即： 2xy10.(2)若直线与l2垂直，k2，斜率k，所求直线方程为y1(x1)，即： 2x3y50.题组2两点间的距离公式5已知A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为()A. B.C3 D2解析：选D由两点间的距离公式，得|AC|4，|CB|2，故2.6已知ABC的顶点A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC的周长是()A2 B32C63 D6解析：选C|AB|3，|BC|3，|AC|3，则ABC的周长为63.7设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|等于_解析：设A(x,0)，B(0，y)，AB中点P(2，1)，2，1，x4，y2，即A(4,0)，B(0，2)，|AB|2.答案：28求证：等腰梯形的对角线相等证明：已知：等腰梯形ABCD.求证： ACBD.证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系设A(a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(b，c)则|AC|，|BD|，|AC|BD|.即等腰梯形的对角线相等题组3对称问题9与直线3x4y50关于x轴对称的直线的方程为()A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50解析：选B令x0，解得y；令y0，解得x，故和是直线3x4y50上两点，点关于x轴的对称点为，过两点和的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x4y50.10已知直线l：x2y20，试求：(1)点P(2，1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程解：(1)设点P关于直线l的对称点为P(x0，y0)，则线段PP的中点在直线l上，且PPl.所以解得即p点的坐标为.(2)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2(x，y)一定在直线l上，反之也成立由得将(x1，y1)代入直线l的方程得，x2y40，即直线l的方程为x2y40.能力提升综合练1已知直线mx4y20与2x5yn0互相垂直，垂足为(1，p)，则mnp为()A24 B20 C0 D4解析：选B两直线互相垂直，k1k21，1，m10.又垂足为(1，p)，代入直线10x4y20得p2，将(1，2)代入直线2x5yn0得n12，mnp20.2两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则|AB|的值为()A. B. C. D.解析：选C直线3axy20过定点A(0，2)，直线(2a1)x5ay10，过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|.3(2016阜阳高一检测)已知点M(0，1)，点N在直线xy10上，若直线MN垂直于直线x2y30，则N点的坐标是()A(2,3) B(2，1)C(4，3) D(0,1)解析：选A由题意知，直线MN过点M(0，1)且与直线x2y30垂直，其方程为2xy10.直线MN与直线xy10的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2,3)4已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m1)xy20和4m2x(m1)y40，则m的值为_解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则或(m1)4m21(m1)0，解得m或1.答案：或15若直线l: ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是_解析：如图，直线2x3y60过点A(3,0)，B(0,2)，直线l: ykx必过点(0，)当直线l过A点时，两直线的交点在x轴上；当直线l绕C点逆时针(由位置AC到位置BC)旋转时，交点在第一象限根据kAC，得到直线l的斜率k.倾斜角的范围为3090.答案：30906直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x3y100，l2：2xy80分别交于A、B两点若线段AB的中点为P，求直线l的方程解：法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(x0,2y0)，A在l1上，B在l2上，kAP，故所求直线l的方程为： yx1，即x4y40.法二：设所求直线l方程为：ykx1，l与l1、l2分别交于A、B.解方程组A，解方程组B.A、B的中点为P(0,1)，则有：0，k.故所求直线l的方程为x4y40.法三：设所求直线l与l1、l2分别交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，P(0,1)为AB的中点，则有：代入l2的方程，得： 2(x1)2y180即2x1y160.解方程组A(4,2)由两点式：所求直线l的方程为x4y40.法四：同法一，设A(x0，y0)