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三重积分的概念,三重积分的计算,3 三重积分的概念与计算,是空间有界闭区域上的,如当各小闭区域直径中的最大值,在每个,将闭区域任意分成n个小闭区域,其中,并作和,作乘积,有界函数.,也表示它的体积.,表示第i个小闭区域,上任取一点,一、三重积分的概念,记为,函数,趋于零时这和的极限总存在,则称此极限为,在闭区域上的三重积分.,即,体积元素,二、三重积分的计算,1. 在直角坐标系下计算三重积分,直角坐标系下的体积元素为,在直角坐标系下三重积分可表为,投影法,如图,闭区域,面上的投影为闭区域D,过点,作直线,解,化三重积分,为三次积分,例,所围成的闭区域.,其中积分区域为由曲面,得交线投影区域,解,例,计算三重积分,其中V是长方体,例 求,解,的原函数不是初等函数,应先x对积分,一定要交换积分次序.,截面法,(红色部分),截面法的一般步骤,(1),投影,得投影区间,(2),(3),计算二重积分,(4),最后计算单积分,截面法(先二后一法),解,计算三重积分,例,原式=,规定,直角坐标与柱面坐标的关系为,就叫点M的,柱面坐标.,设M(x, y, z)为空间内一点,并设点M在xOy,面上的投影P的极坐标为,则这样的三个数,2、在柱面坐标系下计算三重积分,柱面坐标系中,以z轴为中心轴的圆柱面；,过z轴的半平面.,与xOy平面平行的平面;,三坐标面分别为,柱面坐标系中的体积元素为,在柱面坐标系中,如图,得小柱体,即,(红色部分).,若以三坐标面分割空间区域,注,通常是先积,再积,后积,解,例,所围成.,积分域用柱坐标表示为,原式,其中由柱面,解,例,所围成.,积分域用柱坐标表示为,原式,其中由半圆柱面,补充三重积分,对称性质,则称f关于变量z的奇 函数.,(1),关于,坐标面的上半部区域.,(偶),(property),或,而得结果为零.,例,?,?,0,则,C,则( )成立.,记投影向量与x轴正方向的,规定,正方向间的夹角为,偏转角为,球面坐标.,称,为点M的,设M(x, y, z)为空间内一点,向xOy平面投影,3、在球面坐标系下计算三重积分,球面坐标系中的三坐标面分别为,原点为心的球面；,过z轴的半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；,球面坐标系中的体积元素为,如积分域为球域(如图).,则,解,采用,例,由锥面和球面围成,所围成的立体体积.,球面坐标,求曲面 与,练习,解,被积函数是,围成的空间区域,x的奇函数.,4、三重积分的换元法,设被积函数,在空间闭区域上连续,若变换,满足如下条件:,(1),的变换为O-xyz中的闭区域上的点;,(2),有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式,设被积函数,在区域D上连续,若变换,满足如下条件:,例,解,所围成的闭区域.,其中为椭圆面,作广义球坐标变换,解,法
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