有限差分法分析电磁场边值问题定稿.doc

第 1 章绪 论 1.1 电磁场理论产生的背景及其意义 电磁场理论是人类探索自然活动的结晶和宝贵财富。人类认识电磁场运动规律 的道路是漫长而曲折的。早在两千多年前，人类就有了关于磁石和摩擦起电的知识， 我们祖先发明的指南针，为人类文明作出了不朽的贡献。但是，将电磁场现象系统 地上升为理论的研究并加以应用则是 18 世纪中叶，特别是 19 世纪中叶以后的事情。 17711773 年，卡文迪许（Henry Cavendish;1731_1810）进行了著名的静电实 验，库伦（Chareles-Augustinde Coulomb，17361806）于 1785 年建立了关于 静电和静磁的平方反比定律，这标志着电学和磁学定量研究的开始。此后，人们对 电和磁现象进行了大量的观察和实验研究，其中，最著名的是伽伐尼 （L.Calvani，17371798）在解剖青蛙是注意到青蛙腿的痉挛现象，从而发现电 流；伏特（Alessandro Volt，17451827）用电化学方法产生了稳定的电流（即 伏特电池） 。随后，欧姆（georg Simon Ohm，17891854）和基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，18241887）分别建立了后来用他们名字命名的电路定律。 在很长的时期内，人们把电和磁看成是相互独立的现象，并不知道他们之间有什么 联系。直到 1820 年奥斯特（Hans Christian Oersted，17771851）发现电流可 使磁针偏转，级电流可产生磁力，才开始了将点与磁联系起来的研究。1825 年，安 培（Andrc Maric Ampere，17751836）提出了确定两电流之间相互作用及载流 导体能受到磁力作用的定律，即安培定律，毕奥（Biot）和萨法尔（Savart）确定 了磁场和电流之间的定量关系，即毕奥-萨法尔定律。到此为止，人们一直都还是在 静止的或恒定的状态下研究电磁现象。电磁学研究的一个重大发展史，1831 年法拉 第（Michael Faraday，17911867）发现电磁感应现象，这是人们第一次对随时 间变化的电磁场进行研究。电磁感应定律一方面推动了电磁在工程中的应用，另一 方面它是电磁理论的一块基石。1864 年，麦克斯韦（James Clerk Maxwell，18311879）在总结前人发现的实验定律的基础上，进行了创造性的理 论研究工作，建立了后来以他名字命名的麦克斯韦方程组，从而创立了完整的电磁 理论体系1。 麦克斯韦电磁理论体系的建立，是 19 世纪人类文明史上的重大事件，它标志着 人类文明迈进了电的时代。紧随其后，1866 年，西门子（William Siemens，18231883）发明了发电机；1876 年，贝尔（Alexander Graham Bell，18471922）发明了电话；1879 年，爱迪生（Thomas Alva Edison，18471931）成功地做了电磁波实验，对麦克斯韦方程组的正确性提供 两块实验依据。赫兹实验后不到 6 年，意大利工程师马可尼（G.Marconi，1874 1937）和俄国的波波夫（A.S.Popov，18591906）分别实现了无线电远距离传播， 并很快投入实际应用。其后，无线电报（1894 年） 、无线电广播（1906 年） 、导航 （1911 年） 、微波通信（1933 年） 、雷达（1935 年）以及近代的无线电遥测、遥控、 卫星通信、光纤通信等如雨后春笋般涌现出来。 一个多世纪以来，由电磁学发展起来的现代电子技术已应用在电力工程、电子 工程、通信工程、计算机技术等多学科领域。电磁理论已广泛应用于国防、工业、 农业、医疗、卫生等领域，并深入到人们的日常生活中。今天，电磁场问题的研究 及其成果的广泛运用，已成为人类社会现代化的标志之一。 1.2 电磁场边值问题计算方法的重要性 在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要 的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于 绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来 驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布 的知识显然有实质性的意义。 为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特 性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的 情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地 预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因 此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。 电磁场理论早期主要运用在军事领域，其发展和无线电通信、雷达的发展史分 不开的。现在，电磁场理论的应用已经遍及得学、生命科学和医学、材料科学和信 息科学等几乎所有的科学技术领域。计算电磁场研究的内容涉及面很广，与电磁场 工程、电磁场理论互相联系，互相依赖。对电磁场工程而言，计算电磁场要解决的 是实际电磁场工程中越来越复杂的建模与仿真、优化设计等问题；而电磁场工程也 为之提供实验结果，以验证其计算结果的正确性。对电磁场理论而言，计算电磁场 可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法、手段和计算结果；而电磁场 理论这为计算电磁场问题提供了电磁规律、数学方程，进而验证其计算结果，计算 电磁场对电磁场理论发展的影响不仅仅是提供一个计算工具而已2，而是使整个电 磁场理论发生了革命性的变化。毫不夸张地说，近二三十年来，电磁场理论的发展， 无一不是与计算电磁场的发展相联系的。目前，计算电磁场已成为对复杂体系的电 磁规律、电磁性质进行研究的重要手段，为电磁场理论的深入研究开辟了新的途径， 并极大地推动了电磁场工程的发展。 第 2 章 电磁场边值问题计算方法 常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法， 第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规 则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析 解（精确解） ，但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。 在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。 2.1解析法 电磁学是一门古老而又不断发展的学科。经典的数学分析方法是近百年来电磁 学学科发展中的一个极为重要的方法。解析法包括建立和求解偏微分方程或积分方 程。严格求解偏微分方程的经典方法是分离变量法 ,即在可分离变量的坐标系中求 解 Maxwell 方程组或其退化形式 ,最后得到解析解。严格的求解积分方程的方法主 要是变换数学法. 例例 1 一无限长直接地金属 槽 ,其三壁电势为零 ,顶盖与三壁绝缘且电势为 V0sinx，其中 V0=100 V ,截面长宽分别为 a = 10 cm 和 b = 5 cm ,如图 2-1 所示. a 求金属槽内的电势分布。 图 2-1 金属槽截面 分析分析 金属槽无限长 , 故槽内电势与坐标 z无关. 由于槽内各点上电荷密 度 = 0 , 槽内电势满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界条件 : x a Vyx yx yx yx yx by y ax x sin, 0, 0, 0, 0 0 0 0 2 2 2 2 （2.1.1 ） （2.1.2 ） （2.1.3 ） （2.1.4 ） （2.1.5 ） 应用分离变量法 , 得到满足方 程( 1 ) 和边界条件 式(2) 式(4) 的解的形式为 （2.1.6） a yn sh a xn Ayx n n 1 sin, 带入边界条件（5）得 V0sinx= （2.1.7） a a bn sh a xn A n n 1 sin 比较系数得： ， （2.1.8） a b sh V A 0 1 10nAn 槽内电势的解析解为 1010 sin 2 100 sin, 0 y sh x sh a y sh a x a b sh V yx 解析法的优点是： 可将解答表示为已知函数的显式，从而计算出精确的数值结果； 可以作为近似解和数值解的检验标准； 在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结 果所起的作用。 但解析法也存在严重缺点，主要是，它仅能解决很少量的问题。事实上，只有 在为数不多的坐标系中才能分离变量，而用积分方程法是往往求不出结果，致使分 析过程既困难又复杂。例如，对标量赫姆霍兹方程，只有在 11 种坐标系下才能用分 离变量法求解。如果边界面不是在 11 种坐标系中 1 个坐标系的 1 个坐标面或该坐标 系的几个坐标面的组合，或者边界条件不是第一类边界条件（该标量在边界上的值 为已知）或不是第二类边界条件（该标量在边界上沿法线方向的空间导数为已知） ， 则分立变量就不能用。又如，只有当积分方程中的核是某些形式时，才能用变换数 学法来严格求解。 2.2数值法 数值法用高性能的计算机就可直接以数值的、程序的形式代替解析形式来描述 电磁场的问题。在数值法中，通常以差分代替微分，用有限求和代替积分，这样， 就将问题化为求解差分方程或代数方程问题。这方面的例子如有限差分法（FDM） 。 数值法与解析法比较，在许多方面具有独特的优点。 普适性强，用户拥有的弹性大。一个特定问题的边界条件、电气结构、激励等 特性可以不编入基本程序，而由用户输入，更好的情况是通过图形界面输入。 用户不必具备高度专业化的电磁场理论、数学及数值技术方面的知识就能用提 供的程序解决实际问题。 数值法的出现，使电磁场边值问题的分析研究从解析的经典方法进入到离散系 统的数值分析方法，从而使许多解析法很难解决的复杂电磁场边值问题，有可能通 过电磁场的计算机辅助分析获得很高精度的离散解（数值解） ，同时可极大地促进各 种电磁场数值计算方法的发展。 数值法的缺点是数据输入量大、计算量大、受硬件条件的限制。原则上，数值 法可以求解具有任何复杂几何形状、复杂材料的电磁场工程问题。但是，在工程应 用中，由于受计算机存储容量、执行时间以及解的数值误差等方面的限制，数值法 在解大型复杂的电磁场工程问题时也难以完成任务。 可以说数值法的发展大致分为两个阶段。起发展初期，是研究“解决得了”的 问题，也就是研究该数值法能否应用于各个学科分支领域；而其发展后期，是研究 “解决得好”的阶段，即探讨解决工程实际问题的各种改进方法、手段及相应的计 算技术。近期的数值法研究中的大量工作都是为了实现这一目标。有的研究在小机 器上计算大问题；有的研究减少内存占用，加快计算速度；还有的研究在一定程度 上减少自由度和计算工作量；而最新的发展动向是研究高效的并行数值算法。 第 3 章有限差分法 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限 个离散点构成的网格来代替， 这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连 续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微 商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之 以代数方程组，即有限差分方程组 ，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近 似解3。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括4：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分； 如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计 算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的 唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的 各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这 就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否 任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考 虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第 n1 层的近似值时要用到第 n 层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差， 必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面 貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为 格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近 差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下 3 种方法。最常用的方法是数 值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得 出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此 外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 3.1 差分运算的基本概念 有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。 于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程5。 对单元函数 而言，取变量的一个增量=，则函数的增量可以表 xf x xh xf 示为 =- (3.1.1) xfhxf xf 称为函数的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为 xf =- (3.1.2) xf 2 h xf 2 h xf 称为函数的中心差分或一阶中心差分。 xf 函数一阶差分与自变量增量 h 的比值/称为一阶差商。在一阶差分 xf xfh 运算中，它常用来近似函数的一阶导数。 xf dxxdf/ 函数的二阶差商定义为 xf 2 2 x xf h hxfhhxf (3.1.3) 2 h xfhxf 它常被用来近似函数的二阶导数。 xf 22 /dxxfd 我们还可以采用类似方法给出二阶以上差分的定义，并用它们来近似函数二阶 以上的导数。但由于二阶以上的倒数在本次研究中没有用到，因此就不在赘述了。 3.2 有限差分法应用 有限差分法基本思想是将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续 函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题67。 现在，以静电场边值问题 F yx 2 2 2 2 )(sf L （3.2.1 ） （3.2.2 ） 为例，说明有限差分法的应用。f(s)为边界点 s 的点函数，二位场域 D 和边界 L 示于图 3.2-1 中。 0 y x 0 2 4 13 D L h h 图 3.2-1 有限差分的网格分割 通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为,节点上的h4 , 3 , 2 , 1 , 0 电位分别用和表示。 3210 , 4 设函数在处可微，则沿方向在处的泰勒公式展开为 0 xx 0 x （3.2.3） n K nK K K 0 00 )( ! 将和分别代入式（3.2.3）,得 1 3 （3.2.4） 0 3 3 3 0 2 2 2 001 )( ! 3 1 )( ! 2 1 )( x h x h x h （3.2.5） 0 3 3 3 0 2 2 2 003 )( ! 3 1 )( ! 2 1 )( x h x h x h 由（3.2.4）-（3.2.5）得 （3.2.6） hx xx 2 )( 31 0 （3.2.4）+（3.2.5）得 （3.2.7） 2 301 xx 2 2 h 2 x 0 )( 同理 （3.2.8） hy yy 2 )( 31 0 （3.2.9） 2 301 2 2 2 )( 0 hy yy 将式(3.2.7)、 （3.2.9）代入式（3.2.1） ，得到泊松方程的五点差分格式 )( 4 1 4 2 43210 2 04321 Fh Fh 当场域中得到拉普拉斯方程的五点差分格式, 0 （3.2.10） )( 4 1 04 4321004321 从这个公式我们可以看出，当我们将一个二维无源区场域剖分为一系列正方形 网格时，场域内任何一个节点的电位都等于它周围四个节点电位的算术平均值。这 就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程 8。对于场域内的每一个结点，关系式（3.2.10）式都成立，都可以列出一个相同 形式的差分方程。 但是，对于近邻边界的结点，其边界不一定正好落在正方形网格的结点上，而 可能如图 3.2-2 所示。其中 1、2 为边界线上的结点，p、q为小于 1 的正数。仿上 所述，可推得对这些近邻边界结点的拉普拉斯方程的差分格式为 0) 11 ( 11)1 ()1 ( 0 4321 qpqpqqpp （3.2.11） 式中： 1和2分别是给定边界条件函数f (s)在对应边界点处的值，是已知的。 0 1 2 3 4 h h qh ph 图 3.2-2 近邻边界的结点 3.3 边界条件的离散化处理 4 3 2 1 h1 h2 0 图 3.3-1 边界条件的离散化处理 若场域离散为矩形网格(如图 3.3-1 示)，差分格式为9： (3.3.1)F2 h 1 h 1 h 1 h 1 0 2 2 2 1 42 2 2 21 2 1 )()()( （1）第一类边界条件:给边界离散节点直接赋已知电位值 （2）对称边界条件:合理减小计算场域，差分格式为： (3.3.2)(Fh2 4 1 2 4210 图3.3-2 边界条件的离散化处理 （3）第二类边界条件:边界线与网格线相重合的差分格式： (3.3.3)hff hn 2102 01 0 ,)( (4)介质分界面衔接条件的差分格式 (3.3.4) ) 1 2 1 2 ( 4 1 43210 K K K 其中 ba K 1 44 4 A 4 第 4 章差分方程组的求解 由上一章分析可以看出，对于场域内 D 的每一个节点，就有一个差分方程。场 域内部节点的个数就等于差分方程的个数。若节点位于场域的边界10，则这些边界 节点的电位值由边界条件式给出。在对场域 D 内各个结点（包括所有场域内点和有 关的边界结点）逐一列出对应的差分方程，组成差分方程组后，就可选择一定的代 数解法，以算出各离散结点上待求的电位值。 计算差分方程可以直接求解，也可以采用迭代法，相对而言，采用迭代法求解 差分方程更受人们重视。这是因为差分方程组的系数一般是有规律的，且各个方程 都很简单，包含的项数不多（最多不超过 5 项） ，因此，对于有限差分法，通常都采 用逐次近似的迭代方法求解。 4.1 简单迭代法 例如如图 4.1-1 为一个正方形截面的无限长金属盒。盒子的两侧及底的电 位为零，顶部电位为 1000V，求盒内的电位分布11。 0 00 V1000 （1）在盒内取 33 个离散的电位节点 由于场域内不存在电荷，其电位分布必满足拉普拉斯方程。在均匀剖分的条件 下，其差分格式如式（3.2.10）所示。用简单迭代法求解12，其步骤如下： 第一步，在场域内部节点上选定电位初始值，为简单起见，可将它们都取为零， 记为=0，常称为零次解。 0 1 0 2 0 9 第二步，将零次解代入差分方程式（3.2.10） ，得出诸内部节点电位值的一次解， 它们为： =250 1 1 4 01000 0 4 0 2 4 0010000 =250 1 2 4 1000 0 5 0 1 0 3 4 0010000 =250 1 3 4 10000 0 6 0 2 4 0010000 =0 1 4 4 0 0 7 0 1 0 5 4 0000 同理可得 = = =0 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 在求出一次解的 9 个节点电位值以后，原来零次解中的 9 个节点电位值将被一 次解中的相应电位值所取代，在计算机的内存中不予保留，从而达到了节省存储空 间的目的。 第三步，重复上述步骤，令每一个内部节点上的二次解电位值等于该节点周围 四个相邻节点（或边界点）一次解电位值的算术平均值，并用二次解电位值冲去内 存中的原一次解电位值 这样迭代一次又一次的继续下去，可望诸节点的电位值变化越来越小，这时可 图 4.1-1 用有限差分法求金属盒内电位 （） 取这些节点上的电位值为该边值问题的数值解。迭代 39 次后的结果为 =428V， =526V， =428V 39 1 39 2 39 3 =187V， =250V， =187V 39 4 39 5 39 6 =71V， =98V， =71V 39 7 39 8 39 9 利用 MATLAB 绘制等电位图13，程序见附录，画出等电位图如下： 图 4.1-2 简单迭代法（33）等电位分布图 由得出的数值解可以看出，金属盒内点电位分布是越靠中间电位越高，越靠近 金属盒顶部电位越高，这是由于金属盒底部和两边的电位都为零，而顶部最高。由 此表明此方法计算出的电位值，符合金属盒内的电位分布情况。 （2）在盒内取 55 个离散的电位节点 上述例子是在金属盒内取 33 个离散的电位节点，若是取 55 个节点，如图 4.1-3 所示： 图 4.1-3 用有限差分法求金属盒内电位（55） 计算步骤同（1） ，经过 91 次迭代之后，得到电位分布如下： 0 100.0 1000.0 10000 10000 10000 0 0 468.7 629.2 669.4 629.2 468.7 0 0 245.5 378.8 419.3 378.8 245.5 0 0 134.6 221.2 250.0 221.2 134.6 0 0 71.8 121.2 138.4 121.2 71.8 0 0 31.3 53.5 61.3 53.5 31.3 0 0 0 0 0 0 0 0 由以上矩阵得知，在盒内取 55 个节点，求出结果比取 33 个节点更具有连续性， 精确度也越高，但是迭代次数也越多，计算所花的时间久越长。 4.2 超松弛迭代法 在迭代法的应用中，为加速迭代解收敛速度，一般采用的是超松弛迭代法14。 4.2.14.2.1超松弛迭代法理论超松弛迭代法理论 由于编写计算机程序的需要，每一网格结点的位置由双下标（i，j）予以识别， 如图 4.2-1 所示。对于差分方程（3.2.10）式，采用超松弛迭代法（规定迭代的运 算顺序是：从左下角开始做起，即i小的先做；对固定的i，j小的先做。 ） ，则关于 结点 0 迭代到第（n+1）次时的近似值，应由如下迭代公式算得 )( ),( )1( )1,( )1( ), 1( )( )1,( )( ), 1( )( ),( )1( ),( 4( 4 n ji n ji n ji n ji n ji n ji n ji ) （4.2.1） i j 2(i,j+1) 0(i,j)3(i-1,j) 1(i+1,j) 4(i,j-1) 图 4.2-1 结点的双下标（i，j）标号 式中： 称为加速收敛因子，其取值范围是 12，当2 时，迭代过程 将不收敛。 加速收敛因子有一个最佳取值问题，但随具体问题而异。对于第一类边值问 题，若一正方形场域由正方形网格分割（每边结点数为m+1） ，则最佳收敛因子0可 按下式计算 m sin1 2 0 （4.2.2） 在更一般的情况下，只能凭借经验取值。 0 在超松弛迭代法的应用中，还必须涉及迭代解收敛程度的检验问题。对此，通 常的处理方法是：迭代一直进行到所有内结点上相邻两次迭代解的近似值满足修正 条件 W n ji n ji ),( )1( ),( （4.2.3） 时，终止迭代。即将式(12)作为检查迭代解收敛程度的依据。其中：W是指定 的最大允许误差。 4.2.24.2.2超松弛迭代法的超松弛迭代法的 MATLABMATLAB 实现实现 （1）程序框图 启动 给定边值 填写场域内 的初始值 叠代次数计数n:=0 n:=n+1 按超松弛迭代法进行 一次迭代，求 )1( ),( n ji 所有内点相邻二次迭代值 的相对误差是否小于W？ 打印迭代次数n，待求 数值解 )j, i ( 停机 图 4.2-2 程序框图 （2）MATLAB 程序代码如下15： clear hx=5;hy=5; %设置网格节点数（33） v1=ones(hy,hx); %设置行列二维数组 v1(1,:)=ones(1,hx)*1000; %上下两行的 Dirichlt 边界值 v1(hy,:)=zeros(1,hx); %左右两列的 Dirichlt 边界值 for i=1:hy v1(i,1)=0; v1(i,hx)=0; end v2=v1;maxw=1;w=0; n=0；a=1 while(maxw1e-9) %由 V1 迭代，算出 V2，跌代精度为 0.000000001 n=n+1; %计算迭代次数 maxw=0; for i=2:hy-1 for j=2:hx-1 2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j) +v2(i,j-1)-4*(v1(i,j)*a/4;%超松弛迭代公式 w=abs(v2(i,j)-v1(i,j); if(wmaxw)maxw=w;end v(i,j)=v2(i,j) end end v1=v2; end n %输出迭代次数 contour(v2,20) %画等电位线 (3)计算结果如下： n=19 v = 0 1000.0 1000.0 1000.0 0 0 428.6 526.8 428.6 0 0 187.5 250.0 187.5 0 0 71.4 98.2 71.4 0 0 0 0 0 0 画出等电位分布图： 图 4.2-3 超松弛迭代法（33）等电位分布图 当取 55 个离散的电位节点时，只需将程序 hx=5;hy=5 改为 hx=7;hy=7， 经过 54 次迭代之后计算出结果为： 0 1000.0 1000.0 1000.0 1000.0 1000.0 0 0 468.7 629.2 669.4 629.2 468.7 0 0 245.5 378.8 419.3 378.8 245.5 0 0 134.6 221.2 250.0 221.2 134.6 0 0 71.8 121.2 138.4 121.2 71.8 0 0 31.3 53.5 61.3 53.5 31.3 0 0 0 0 0 0 0 0 画出等电位图： 图 4.2-4 超松弛迭代法（55）等电位分布图 4.3讨论与分析 由（33）和（55）等电位分布图对比可知，两种取点方法求得等电位分布规律一致， 但取的离散的点越多，求出的电位连续性越强。 迭代收敛的速度与有明显关系 表1-1 迭代收敛的速度与的关系 收敛因子（） 1.01.11.151.21.31.51.82.0 （33）迭代次数 （）N 392923192441122 发散 当收敛因子=1.2时迭代次数最少，计算所用时间最短。 通过简单迭代法和超松弛迭代法对比发现，两种方法求出的数值解相同，作出的等电位线 分布一样，但超松弛迭代法比简单迭代法收敛速度更快，迭代次数更少，计算时间更短。 结 论 电磁场边值问题的数值求解有很多种方法，有限差分法是数值计算中应用得最 早而又相当简单，直观的一种方法16。 本文在讨论电磁场边值问题求解时，将电磁场进行了理想化处理，以一简单边 界条件的电磁场边值问题为例，建立相应的数学模型，将场域离散为一些网格，运 用差分原理，对场域内偏微分方程及边界上的边界条件进行差分离散化处理，在通 过差分运算求出场域内电位值。可以通过上述分析得到这样一些有意义的结论： （1）使用有限差分法求解电磁场边值问题是可行的，只要将网格取得足够小， 是可以将离散的点看成连续的。求出离散的数值解，更符合实际应用的需要，而且 随着计算机技术的发展，求解差分方程的过程变得简单，使得有限差分法在电磁场 问题计算中更具有优势。 （2）超松弛迭代法的收敛因子=1 时，相当于简单迭代法。收敛因子的导 入，使得超松弛迭代法比简单迭代法能更快的收敛，若的值选取恰当，收敛速度 还将加快。 （3）场域内取的节点越多，计算结果就越精确，当节点划分足够多的时候，离 散的点可以看作连续的。但节点划分越多，迭代次数就越多，计算量就越大，所以 计算时应根据实际需要，划分合适的节点数。 在电磁场计算中如何保证计算精度，减少计算工作量，提高计算速度，减少计 算时间，是我们长期努力的方向。 参考文献 1 冯慈璋 , 马西奎. 工程电磁场导论 M . 北京 : 高等教育出版社 , 2000 :32240 . 2 徐立勤 曹伟电磁场与电磁波 M 北京 : 科学出版社,2006:102-107. 3 何红雨. 电磁场数值计算法与 MATLAB 实现 M . 武汉 : 华中科技大学出版社 , 2004 : 4210 . 4 余定峰 李 超. 有限差分法在静态电磁场计算中的应用J .电子测试 2009(4),23-26. 5 赵得奎 刘勇.MATLAB 在有限差分数值计算中的应用J.四川理工学院报,2005,18(4):61-64. 6 Dlala , Emadl emad. Inverted and Forward Preisach Models for Numerical Analysis of Electromagnetic Field Problems J . IEEE Transactions on Magnetics , 2006 , 42 (8) :1 963 21 973. 7 Kanai , Yasushi. Automatic mesh generation for 3D electro2 magnetic field analysis by FD - TD met hod J . IEEE Trans2 actions on Magnetics ,1998 Part 1 of 2 ,34 (5) :3 383. 8 谢处方,饶克谨电磁场与电磁波 M 北京 : 高等教育出版社, 1999:96-100. 9 钱焕延,计算方法 M 西安电子科技大学出版社,2007: 100-11