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闭区间上连续函数的性质,最大值和最小值定理 介值定理,一、最大值和最小值定理 P55,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,证：,取,当|x|X时, | f (x)-A|1,又|f (x)|-|A| f (x)-A|1,即: | f (x)|A|+1, f(x) 在(-，+)上连续， f(x)在-X，X上连续。,由最值定理, M00, x X, 都有| f (x)|M0,取M=max|A|+1, M0,例1 设 f (x) 在(-, +)上连续，且 存在,证明 f (x) 在(-, +)上有界。,有渐近线,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,例5 设f(x)在(a, b)内连续，x1,x2,xn是(a, b)内任意值， 证明存在一点(a, b)使,证：设,f(x)在(a, b)内连续， f(x)在x i , x j 上连续。,x1,x2xnxi , xj,由最值定理： f(x)在xi ,xj 上达到最大M=f(1)，
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