浙江专版2019版高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列学案.docx

6.3等比数列考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142015201620171.等比数列的有关概念及运算1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.理解18(1),6分18(1),7分3,5分10(文),2分17(文),约3分20(1),约3分17(1)(文),约4分22,约5分2.等比数列的性质及应用1.了解等比数列与指数函数的关系.2.能利用等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.3.能运用数列的等比关系解决实际问题.掌握19(文),约3分18(2),7分17(2)(文),约4分分析解读1.考查等比数列的定义与判定,通项公式、前n项和的求解,等比数列的性质等知识.2.等比数列与不等式结合的范围求解、大小比较、不等式证明是高考的热点.3.预计2019年高考试题中,对等比数列的考查仍以概念、性质、通项、前n项和等基本量为主,以中档题形式出现.五年高考考点一等比数列的有关概念及运算 1.(2017课标全国理,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B2.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是() A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列答案D3.(2017课标全国理,14,5分)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4 =.答案-84.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=.答案325.(2016课标全国,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.答案646.(2014天津,11,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.答案-127.(2017课标全国文,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析本题考查等差、等比数列.(1)设an的公比为q,由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n路2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.8.(2016课标全国,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求.解析(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.(2分)由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1an=位位-1.因此an是首项为11-位,公比为位位-1的等比数列,于是an=11-位位位-1n-1.(6分)(2)由(1)得Sn=1-位位-1n.由S5=3132得1-位位-15=3132,即位位-15=132.解得=-1.(12分)9.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=53,证明:e1+e2+en4n-3n3n-1.解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n1都成立.所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=1+q2(n-1).由e2=1+q2=53,解得q=43.因为1+q2(k-1)q2(k-1),所以1+q2(k-1)qk-1(kN*).于是e1+e2+en1+q+qn-1=qn-1q-1,故e1+e2+en4n-3n3n-1.10.(2015四川,16,12分)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列1an的前n项和为Tn,求Tn.解析(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得1an=12n.所以Tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.教师用书专用(1116)11.(2013江西,3,5分)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24答案A12.(2013课标全国,3,5分)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19D.-19答案C13.(2013江苏,14,5分)在正项等比数列an中,a5=12,a6+a7=3.则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为.答案1214.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案415.(2014课标,17,12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明1a1+1a2+1an32.解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.an+12=3n2,因此an的通项公式为an=3n-12.(2)证明:由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-123n-1,所以13n-1.于是1a1+1an1+13+13n-1=321-13n32.所以1a1+1a2+1an32.16.(2013湖北,18,12分)已知等比数列an满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正整数m,使得1a1+1a2+1am1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设等比数列an的公比为q,则由已知可得a13q3=125,|a1q-a1q2|=10,解得a1=53,q=3,或a1=-5,q=-1.故an=533n-1,或an=-5(-1)n-1.(2)若an=533n-1,则1an=3513n-1,故1an是首项为35,公比为13的等比数列,从而=9101-13m9101.若an=(-5)(-1)n-1,则1an=-15(-1)n-1,故1an是首项为-15,公比为-1的等比数列,从而=故1.综上,对任何正整数m,总有1.故不存在正整数m,使得1a1+1a2+1am1成立.考点二等比数列的性质及应用1.(2015课标,4,5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B2.(2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案C3.(2015安徽,14,5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.答案2n-14.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.答案3n-15.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案16.(2013天津,19,14分)已知首项为32的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn=Sn-1Sn(nN*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解析(1)设等比数列an的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2=a5a3=14.又an不是递减数列且a1=32,所以q=-12.故等比数列an的通项公式为an=32-12n-1=(-1)n-132n.(2)由(1)得Sn=1-12n=当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1SnS1=32,故0Sn-1SnS1-1S1=32-23=56.当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以34=S2SnSn-1SnS2-1S2=34-43=-712.综上,对于nN*,总有-712Sn-1Sn56.所以数列Tn最大项的值为56,最小项的值为-712.教师用书专用(79)7.(2013福建,9,5分)已知等比数列an的公比为q,记bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m(m,nN*),则以下结论一定正确的是()A.数列bn为等差数列,公差为qmB.数列bn为等比数列,公比为q2mC.数列cn为等比数列,公比为qm2D.数列cn为等比数列,公比为qmm答案C8.(2014广东,13,5分)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20=.答案509.(2013北京,10,5分)若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和Sn=.答案2;2n+1-2三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一等比数列的有关概念及运算 1.(2018浙江镇海中学期中,2)等比数列an的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则S10S5等于() A.-3B.5C.-31D.33答案D2.(2017浙江温州十校期末联考,8)已知数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=2,则满足1 0011 000S2nSn0,则a10B.若T2n+10,则a10C.若T3n+10D.若T4n+10,则a112n+2+12n+2-1n+1=0,即cn+1cn,因此数列cn是单调递增的,所以(cn)min=c1=12.(9分)(3)证明:当n2时,S2n=(S2n-S2n-1)+(S2n-1-S2n-2)+(S4-S2)+(S2-S1)+S1=c2n-1+c2n-2+c2+c1+S1,由(2)知c2n-1c2n-2c2,又c1=12,S1=1,c2=712,所以S2n(n-1)c2+c1+S1=712(n-1)+12+1=7n+1112.(15分)7.(2017浙江温州模拟考(2月),22)设数列an满足an+1=an2-an+1(nN*),Sn为数列an的前n项和,证明:(1)当0a11时,0an1;(2)当a11时,an(a1-1)a1n-1;(3)当a1=12时,n-2nSn1,所以an1(nN*).从而an+1-1=(an2-an+1)-1=an2-an=an(an-1),即an+1-1an-1=ana1,(6分)于是an-1(a1-1)a1n-1,即an(a1-1)a1n-1(n2,nN*),经检验,当n=1时,不等式也成立,故当a11时,an(a1-1)a1n-1.(8分)(3)当a1=12时,由(1)知,0an1(nN*),故Snbn+10(nN*),由an+1=an2-an+1,可得bn2=bn-bn+1,(10分)从而b12+b22+bn2=(b1-b2)+(b2-b3)+(bn-bn+1)=b1-bn+1nbn2,故nbn212,即bn12n(nN*),(12分)注意到bn12n=22n2n+n-1=2(n-n-1),故b1+b2+bn2(1-0)+(2-1)+(n-n-1)=2n,即n-Snn-2n,所以当a1=12时,n-2nSnn.(15分)C组20162018年模拟方法题组方法1等比数列中“基本量法”的解题策略 1.(2016浙江高考模拟冲刺(五),17)已知等差数列an,等比数列bn满足:a1+a2=a3,b1b2=b3,且a3,a2+b1,a1+b2成等差数列,a1,a2,b2成等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若数列cn满足cn=bn(bn+1)(bn+1+1),求数列cn的前n项和Sn.解析(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,依题意,得解得a1=d=1,b1=q=2.故an=n,bn=2n.(8分)(2)cn=2n(2n+1)(2n+1+1)=(2n+1+1)-(2n+1)(2n+1)(2n+1+1)=12n+1-12n+1+1,Sn=13-15+15-19+12n+1-12n+1+1,Sn=13-12n+1+1=.(15分)方法2等比数列的性质及应用的解题策略2.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3,a5-1,a6成等差数列,a2,a4-1,a7-1成等比数列.(1)求数列an的通项公式及Sn;(2)是否存在正整数n和k,使得Sn,Sn+1,Sn+k成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.解析(1)设等差数列an的公差为d,由a3,a5-1,a6成等差数列,得2(a1+4d-1)=a1+2d+a1+5d,解得d=2.由a2,a4-1,a7-1成等比数列,得(a1+5)2=(a1+2)(a1+11),解得a1=1.则an=1+(n-1)2=2n