弹性力学平面应力平面应变问题.ppt

第二章 平面问题的基本理论,2-2 弹性力学的基本方程,2-3 平面应变和平面应力问题,2-1 弹性力学基本概念,因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有： 位移（u）、应变（）、应力（）,量,回 顾,2-1 弹性力学基本概念,位 移,应 变,应 力,弹 性 模 量,物体的材料性能,物体的受力状态,物体的变形程度,物体变形后的形状,弹性力学目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物理方程,研究的基本技巧 采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变形体）,回 顾,弹性体的基本假设,为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性； 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状； 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。 以上基本假定将作为问题简化的出发点。,回 顾,a,回 顾,2-2 弹性力学基本方程,化简得到,1.平衡微分方程,回 顾,平衡微分方程的矩阵形式为,式中，b是体积力向量，,回 顾,二维问题：平衡微分方程,回 顾,2.几何方程：位移-应变的关系,回 顾,六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：,回 顾,2.几何方程：位移-应变的关系,几何方程式的矩阵形式为,回 顾,由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关系，即 x = Ex 这就是虎克定律。,3.物理方程：应力-应变的关系,（Hookes Law）,工程上，一般将应变与应力间的关系表示为,称它们为物理方程（广义虎克定律）。,若令,代表应变列阵和应力列阵，则应力-应变关系可写成矩阵形式,其中,称为弹性矩阵，由弹性常数E和 决定。,回 顾,4. 应力边界条件,弹性体在应力边界 上单位面积的面力为 、 、 。设边界外法线的方向余弦为 ，则边界上弹性体的应力边界条件可表示为,其矩阵表达式为,(在 上),其中，面积力向量 ，方向余弦矩阵为,5. 位移边界条件,回 顾,已知位移 边界上弹性体的位移为 ，则有,(在 上),用矩阵形式表示为：,(在 上),弹性力学基本方程的一般形式为,平衡微分方程 (在 内) 几何方程 (在 内) 物理方程 (在 内) 边界条件 (在 上) (在 上) 其中 ， 为弹性体的完整边界。,小 结,回 顾,任何构件都占有三维空间，在载荷或温度变化等的作用下，物体内产生的应力、应变和位移必然是三向的。一般说来，它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样的问题称为弹性力学空间问题。,2-3 平面应变和平面应力问题,当构件形状有某些特点，并且受到特殊的分布外力作用或温度变化影响，某些空间问题可以简化为弹性力学的平面问题。这些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐标（如x、y）的函数。平面问题可以进而分为平面应变问题和平面应力问题两大类。,平面应变问题,同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿长度变化。,这时，可以把构件在纵向作为无限长看待。因此，任一横截面都可以视为对称面，其上各点就不会产生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也与坐标z无关。则有,u=u(x, y), v=v(x, y), w=0,显然，在这种条件下构件所有横截面上对应点（x、y坐标相同）的应力、应变和位移是相同的。这样，我们只需从构件中沿纵向截出单位厚度的薄片进行分析，用以代替整个构件的研究 。,平面应变问题,对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待： 构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方向)尺寸； 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同； 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没有变化； (4) 物体的约束(支承)条件不随z轴变化。,平面应变问题,在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水（油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。,还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平面应变问题。 通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时，都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况下的应力、应变以及弹性力学的基本方程式。,平面应变问题,位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是,应变：由几何方程应变-位移关系，得,不等于零的三个应变分量是x、y和xy，而且应变仅发生在与坐标面xoy平行的平面内。,平面应变问题,将 ， 代入物理方程,得,将 代入物理方程,得,在z轴方向没有应变，但其应力 z并不为零。,平面应变问题,得,平面应变问题,应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有,由上面的分析可知，独立的应力分量只有 x、y 和txy 三个。,平面应变问题,对于具有如下特征的构件，可作为平面应力问题处理。 (1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z轴方向)远小于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板； (2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面没有外力，体积力垂直于z轴； (3)由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。,平面应力问题,体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板的前后表面上没有外力作用。即,时,在平面应力问题中，认为 等于零，但沿z轴的应变不等于零。这与平面应变的情况刚好相反。 将 代入物理方程， 有,，则有,平面应力问题,于是，物理方程的另外三式成为,如果用应变分量来表示应力分量，上面三式变为,平面应变和平面应力问题物理方程比较：,平面应力,平面应变,这里，,分别为应力矩阵、应变矩阵。矩阵D称为弹性矩阵。,如果用 和 分别代换平面应力物理方程各式中的E和，就得到平面应变物理方程。因此，我们可以将两类平面问题的物理方程写成统一的格式，用矩阵方程表示为,对于平面应力问题，弹性矩阵为,对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式中，以 代E， 代即可。,小 结,平面应变和平面应力两种平面问题的平衡微分方程、几何方程和物理方程可写成以下统一形式：,平衡微分方程：,几何方程：,物理方程：,对于平面应力和平面应变问题来说，只须在弹性矩阵中，以 代E， 代即可。,平面问题的解法?,弹性力学平面问题有两个平衡微分方程，三个几何方程，三个物理方程。共