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文档简介

课题:9.5 三角形的中位线2教学目标:1.会利用三角形的中位线的性质解决有关问题;2.理解并掌握中点四边形的特定规律,教学重点:掌握中点四边形的特定规律教学难点:体会转化的思想方法,在实际问题中灵活运用。教学流程:一、复习旧知1.什么叫三角形的中位线?三角形的中位线定理。2.中位线与中线的区别:三角形中位线的两端点都是三角形边的中点。三角形中线只有一个端点是边的中点,另一端点是三角形的一个顶点。二、探索活动 ABC的中位线DE与BC的关系怎样?(从位置和数量关系猜想)已知:D、E分别是ABC的边AB、AC的中点. 求证:DEBC。证法一:延长DE至F, 使EF=DE,连接CD、AF、CFAE=EC DE=EF四边形ADCF是平行四边形 AD且FC,又D为AB中点,DB且FC四边形BCFD是平行四边形, DE/ BC 且DE=EF=1/2BC证法二:如图,以点E为旋转中心,把ADE绕点E,按顺时针方向旋转180,得到CFE,则D,E,F同在一直线上DE=EF,且ADECFE。ADE=F,AD=CF,ABCF。又BD=AD=CF,四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),DFBC,DE且1/2BC证法三:过点C作AB的平行线交DE的延长线于F,CFAB,A=ECF,又AE=EC,AED=CEF, ADECFE AD=FC,又DB=AD,DB且FC,四边形BCFD是平行四边形,DE/ BC 且DE=EF=1/2BC三、例题教学如图,已知ABC,AD平分BAC交BC于点D,BC的中点为M,MEAD,交BA的延长线于点E,交AC于点F(1)求证:AE=AF;(2)求证:BE=(AB+AC)分析:(1)欲证明AE=AF,只要证明AEF=AFE即可(2)作CGEM,交BA的延长线于G,先证明AC=AG,再证明BE=EG即可解决问题证明:(1)DA平分BAC,BAD=CAD,ADEM,BAD=AEF,CAD=AFE,AEF=AFE,AE=AF(2)作CGEM,交BA的延长线于GEFCG,G=AEF,ACG=AFE,AEF=AFE,G=ACG,AG=AC,BM=CMEMCG,BE=EG,BE=BG=(BA+AG)=(AB+AC)小结:本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造等腰三角形,以及三角形中位线,属于中考常考题型四、当堂练习(一)选择题1.如图,DE是ABC的中位线,过点C作CFBD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是()AEF=CFBEF=DECCFBDDEFDE【分析】首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC,然后根据CFBD得出ADE=F,继而根据AAS证得ADECFE,最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE【解答】解:DE是ABC的中位线,E为AC中点,AE=EC,CFBD,ADE=F,在ADE和CFE中,ADECFE(AAS),DE=FE故选B【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、ADE=F,判定三角形的全等2.如图,在ABC中,ABC=90,AB=8,BC=6若DE是ABC的中位线,延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F,则线段DF的长为()A7B8C9D10【分析】根据三角形中位线定理求出DE,得到DFBM,再证明EC=EF=AC,由此即可解决问题【解答】解:在RTABC中,ABC=90,AB=8,BC=6,AC=10,DE是ABC的中位线,DFBM,DE=BC=3,EFC=FCM,FCE=FCM,EFC=ECF,EC=EF=AC=5,DF=DE+EF=3+5=8故选B【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用三角形中位线定理,掌握等腰三角形的判定和性质,属于中考常考题型3.如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为()A6B5C4D3【分析】在RtACB中,根据勾股定理求得BC边的长度,然后由三角形中位线定理知DE=BC【解答】解:在RtACB中,ACB=90,AC=8,AB=10,BC=6又DE垂直平分AC交AB于点E,DE是ACB的中位线,DE=BC=3故选:D【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半4.如图,在ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,AFBC,垂足为点F,ADE=30,DF=4,则BF的长为()A4B8C2D4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB,再在RTABF中,利用30角所对的直角边等于斜边的一半,求出AF即可解决问题【解答】解:在RTABF中,AFB=90,AD=DB,DF=4,AB=2DF=8,AD=DB,AE=EC,DEBC,ADE=ABF=30,AF=AB=4,BF=4故选D【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,属于中考常考题型5.在ABC中,AB=3,BC=4,AC=2,D、E、F分别为AB、BC、AC中点,连接DF、FE,则四边形DBEF的周长是()A5B7C9D11【分析】先根据三角形中位线性质得DF=BC=2,DFBC,EF=AB=,EFAB,则可判断四边形DBEF为平行四边形,然后计算平行四边形的周长即可【解答】解:D、E、F分别为AB、BC、AC中点,DF=BC=2,DFBC,EF=AB=,EFAB,四边形DBEF为平行四边形,四边形DBEF的周长=2(DF+EF)=2(2+)=7故选B【点评】本题考查了三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半(二)填空题:1.如图,在ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,BC=8,则DE=4【分析】根据三角形的中位线定理得到DE=BC,即可得到答案【解答】解:D、E分别是边AB、AC的中点,BC=8,DE=BC=4故答案为:4【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握,能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键2.如图,在ABC中,ACB=90,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN若AB=6,则DN=3【分析】连接CM,根据三角形中位线定理得到NM=CB,MNBC,证明四边形DCMN是平行四边形,得到DN=CM,根据直角三角形的性质得到CM=AB=3,等量代换即可【解答】解:连接CM, M、N分别是AB、AC的中点,NM=CB,MNBC,又CD=BD,MN=CD,又MNBC,四边形DCMN是平行四边形,DN=CM,ACB=90,M是AB的中点,CM=AB=3,DN=3,故答案为:3【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键(三)解答题1.如图,在ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作EFAB,交BC于点F(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;(2)当ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DEBC,然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明;(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明【解答】(1)证明:D、E分别是AB、AC的中点,DE是ABC的中位线,DEBC,又EFAB,四边形DBFE是平行四边形;(2)解:当AB=BC时,四边形DBFE是菱形,理由如下:D是AB的中点,BD=AB,DE是ABC的中位线,DE=BC,AB=BC,BD=DE,又四边形DBFE是平行四边形,四边形DBFE是菱形【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,平行四边形的判定,菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系,熟记性质与判定方法是解题的关键2. D、E分别是不等边三角形ABC(即ABBCAC)的边AB、AC的中点O是ABC所在平面上的动点,连接OB、OC,点G、F分别是OB、OC的中点,顺次连接点D、G、F、E(1)如图,当点O在ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;(2)若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?(直接写出答案,不需要说明理由)【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DEBC且DE=BC,GFBC且GF=BC,从而得到DEGF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形解答【解答】(1)证明:D、E分别是AB、AC边的中点,DEBC,且DE=BC,同理,GFBC,且GF=BC,DEGF且DE=GF,四边形DEFG是平行四边形;(2)解:当OA=BC时,平行四边形DEFG是菱形【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,平行四边形的判定,菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系,熟记的定理和性质是解题的关键3.如图,在ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;(2)求证:DHF=DEF【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EFAB,DEAC,再根据平行四边形的定义证明即可;(2)根据平行四边形的对角相等可得DEF=BAC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD,FH=AF,再根据等边对等角可得DAH=DHA,FAH=FHA,然后求出DHF=BAC,等量代换即可得到DHF=DEF【解答】证明:(1)点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,DE、EF都是ABC的中位线,EFAB,DEAC,四边形ADEF

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