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课下能力提升(九)二项式系数的性质及应用一、填空题1已知的展开式中前三项的系数成等差数列,则第四项为_2若的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为_3若展开式中只有第6项的系数最大,则n_.4已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10,则a8_5若CC(nN*)且(3x)na0a1xa2x2anxn,则a0a1a2(1)nan_二、解答题6二项式(2x3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和7求(1x)8的展开式中(1)二项式系数最大的项;(2)系数最小的项8求证:32n28n9能被64整除答案1解析:由题设,得CC2C,即n29n80,解得n8或n1(不合题意,舍去),则的展开式的通项为Tr1Cx8r,令r14,得r3,则第四项为T4Cx57x5.答案:7x52解析:令x1,2n64n6.由Tr1C36rx(1)rx(1)rC36rx3r,令3r0r3. 所以常数项为C332027540.答案:5403解析:由题意知,展开式中每一项的系数和二项式系数相等,第6项应为中间项,则n10.答案:104解析:(1x)102(1x)10其通项公式为:Tr1C210r(1)r(1x)r,a8是r8时,第9项的系数所以a8C22(1)8180.答案:1805解析:由CC,得3n1n6(无整数解,舍去)或3n123(n6),解得n4,问题即转化为求(3x)4的展开式中各项系数和的问题,只需在(3x)4中令x1,即得a0a1a2(1)nan3(1)4256.答案:2566解:设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9,令x1,y1,得a0a1a2a9(23)91.(3)由(2)知a0a1a2a91,令x1,y1,得a0a1a2a959,将两式相加,得a0a2a4a6a8,此即为所有奇数项系数之和7解:(1)因为(1x)8的幂指数8是偶数,由二项式系数的性质,知(1x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大该项为T5C(x)470x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者即第4项和第6项系数相等且最小,分别为T4C(x)356x3,T6C(x)556x5.8证明:32n28n99n18n9(18)n18n9CC8C82C83C8nC8n18n91(n1)8C82C83C8n8n18n9C
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