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一、反函数的导数,二、复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式小结,三、求导法则小结,2. 3 反函数、复合函数的求导法则,上页,下页,结束,返回,首页,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0,那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,并且,简要证明:,因为y=f(x)连续,所发当Dx0时,Dy0。,下页,例1求(arcsin x)及(arccos x)。,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0,那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,并且,解:,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数,所以,下页,例2求(arctan x)及(arccot x)。,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0,那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,并且,解:,因为y=arctan x是x=tan y的反函数,所以,下页,(1) (C)=0, (2) (xm)=m xm-1, (3) (sin x)=cos x, (4) (cos x)=-sin x, (5) (tan x)=sec2x, (6) (cot x)=-csc2x, (7) (sec x)=sec x tan x, (8) (csc x)=-csc x cot x, (9) (ax)=ax ln a , (10) (ex)=ex,,基本初等函数的导数公式小结:,,,上页,二、复合函数的求导法则,如果u=j(x)在点x0可导,函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导,则复合函数y=fj(x)在点x 0可导,且其导数为,假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数,则Du0,此时有,简要证明:,= f (u 0)j (x 0)。,下页,二、复合函数的求导法则,如果u=j(x)在点x0可导,函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导,则复合函数y=fj(x)在点x 0可导,且其导数为,如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导,y=f(u)在开区间 Iu内可导,且当xIx时,对应的uIu,那么复合函数y=fj(x)在区间Ix内可导,且下式成立:,下页,复合函数的求导法则:,解:函数y=lntan x是由y=ln u,u=tan x复合而成,,下页,复合函数的求导法则:,下页,复合函数的求导法则:,下页,复合函数的求导法则:,对复合函数求导法则比较熟练以后,就不必再写出中间变量。,下页,复合函数的求导法则:,下页,复合函数的求导法则:,复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。,下页,复合函数的求导法则:,下页,解:y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx) = ncos nx sin nx+sin nx n sin n-1x (sin x ) = ncos nx sin nx+n sin n-1x cos x =n sin n-1x sin(n+1)x。,复合函数的求导法则:,上页,函数的和、差、积、商的求导法则: (1) (u v)=u v,
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