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文档简介

1,6-5 反常积分与函数,2,复习,定积分的几何意义:,3,一、无穷限上的反常积分,二、无界函数的反常积分,三、 函数,第五节 反常积分与函数,第六章,4,引例:求由曲线y=1/x2 ,直线x=1和y=0围成图形的面积.,一、无穷区间上的反常积分,因,5,定义:,取,如果极限,存在,,记作,即,此时也称反常积分收敛.,否则称反常积分发散.,注意:,反常积分发散时,,但只是形式上写出,不表数值.,一、无穷区间上的反常积分,6,解,由定义知:,显然,不存在.,7,注意:,为了简便起见,另解,记,解,若,原式,例2 计算反常积分,8,证,例3,证明反常积分,当p1时收敛,,当,发散.,故当p1时,,该反常积分收敛于,该反常积分发散.,9,取,如果极限,存在,,记作,即,此时称反常积分,否则称反常积分发散.,定义2,10,如果,都收敛,,记作,即,此时也称反常积分,否则称反常积分发散.,定义3,11,一般地:,则,计算方法:,解,12,解,因为,不存在,,注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .,例5,讨论反常积分,的敛散性.,13,二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分).,引例:求由曲线 ,及x=0、 x=1和y=0围成图形的面积.,解:取充分小,因,14,二、无界函数的反常积分(又称为瑕积分).,例子,或,或,15,2.瑕积分定义,而,如果极限,存在,,则称此极限值叫,记作,即有,(又叫瑕积分).,此时称反常积分收敛.,若该极限不存在,,称其发散.,(这时称a是瑕点),,类似地定义:,反常积分,16,另有:,若,是瑕点时,,注意:,与,同时收敛.,才收敛.,否则,,发散.,2.计算方法:,当a为瑕点时,,其中,当b为瑕点时,,其中,17,解,故所给反常积分是收敛的.,例6 讨论反常积分,的敛散性.,所以x=a是被积函数的无穷间断点.,18,解,则,由于,所以,发散,,19,证,因此当q1时反常积分收敛,,其值为,例8,证明反常积分,当q1时收敛,,当,发散.,20,小结,设有反常积分,其中f(x)在(a,b)内连续,,a可以是,b可以是,a 、b也可以是无穷,间断点.,对这样的积分,可以象定积分一样作换元 .,21,解,例9 求反常积分,令,则,再令,于是,22,三、 函数,定义: 广义积分,是参变量的函数, 称为函数,函数具有如下递推公式: (+1) = ( ) (t0) . 特别地,当=n为正整数时,有 (n+1) = n!,23,函数的重要性质: (+1)=() 特别, (n+1)=n!,证明:,24,例10:利用函数计算下列反常积分.,解: (1),(2),25,例10:利用函数计算下列反常积分.,解:,(2),26,1. 反常积分,积分区间无限,被积函数无界,定积分的极限,2. 两个重要的反常积分,小结,27,作业:P253: 1(3)(5)(8),预习:从253到261页,28,相转化 .,例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互,29,计算方法,30,若a是瑕点,计算方法,当a为瑕点时,,其中,当b为瑕点时,,其中,若b为瑕点,为瑕点,31,例1 计算广义积分,解,故原广

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