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,转化,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2. 可分离变量方程的求解方法:,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,解;,阶;,通解;,特解,y = x 及 y = C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298,5(2) ),2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例2 , 例 3 ),3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例4 ),(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.,3. 解微分方程应用题的方法和步骤,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P
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