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机械工程测试技术基础,任课教师： 办公室： 电话： 电子邮件：,2009-2010年春本科生课程,1,第一章 信号及其描述,本章内容： 信号分解傅立叶级数、傅立叶变换，信号分解后描述频谱图 将信号在时域中的描述转变为频率中的描述。,2,通过传感器及测量电路，将被测非电量转变成电信号，如电压、电流信号，这些信号便于观察、记录和分析。在这些信号中包含有多种信息，如机床振动信号就包含幅值、频率和相位等信息。信号的形式是多种多样的，从不同的角度有不同的分类方法，在动态测试中，信号可作为时间函数来讨论。 一 、信号分类 (一)确定性信号、非确定性信号（随机信号） 按信号随时间变化的规律划分为确定性信号和非确定性信号。,第一节 信号的分类与描述,3,1.确定性信号： 可以用明确的数学关系来描述，在实验上可重复产生。即给一个时间，就可确定一个相应的函数值，如压电晶体受力作用产生电荷输出，电容极间距变化产生电容变化输出等。又分为周期信号和非周期信号。,周期信号：有明确数学关系， 有周期,无阻尼自由振动时，质点瞬时位置：,圆频率,4,非周期信号： 有明确数学关系，无周期。非周期信号又分为：准周期信号和瞬变非周期信号。,准周期信号：两种以上周期信号合成，其组成分量间无法找到公共周期，无法按某一时间间隔周而复始出现。,瞬变非周期信号：一些或在一定时间区间存在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。,5,2.非确定性信号（随机信号） 不能用明确的数学关系来描述，只能用概率、数理统计的方法来描述。如干扰噪声、飞机飞行时产生的振动. 3.复合信号 确定性信号+随机信号（绝大多数待测信号）,测试技术任务之一就是从噪声信号（随机信号）的背景下，提取我们感兴趣的信号（确定性信号）。,6,(二)连续信号和离散信号,若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则成为连续信号，否则是离散信号。 离散信号可以用离散图表示，或用数字序列表示； 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。,7,模拟信号和数字信号,若独立变量和幅值均取连续的值的信号称为模拟信号。 若离散信号的幅值也是离散的，则称为数字信号。 实际应用中连续信号和模拟信号两个名词常常不予区分；离散信号和数字信号不予区分。,8,（三）能量信号和功率信号,不考虑量纲，把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。,当满足：,认为信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。 如：矩形脉冲信号、衰减指数函数等,9,若信号在区间（-，）的能量是无限的,但在有限区间（t1，t2）的平均功率是有限的,称这种信号为功率有限信号，或功率信号,图1-1是功率有限信号，图1-2是能量有限信号。,注意：信号的功率和能量，未必有真实的相应量纲。,10,二、信号的时域描述和频域描述,直接观测或记录的信号，一般是以时间为独立变量的，称其为信号的时域描述。 信号的时域描述反映信号幅值随时间变化的关系，不能明显揭示信号的频率组成关系。 为了研究信号的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系，把信号的时域描述通过适当方法变成信号的频域描述，即以频率为独立变量来表示信号。,11,时域方波信号,12,傅立叶级数展开,其中,周期方波：由一系列幅值和频率不等、相角为零的正弦信号叠加而成，可改写为：,若视t为参变量，以w为独立变量，上式即为图1-4周期方波的频域描述。,13,在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出来，按序排列，得出信号的“频谱”，以频率为横坐标，分别以幅值或相位为纵坐标，便得到信号的幅频谱或相频谱。,14,周期方波对比,0,15,总结 信号时域描述直观地反映了信号瞬时值随时间的变化情况。 频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角的大小。 适用场合：(不同问题不同的信号特征) 评定机器振动烈度，需用振动速度的均方根值来作为判据时域描述。 在找振源时，需要掌握振动信号频率分量，需要采用频域描述频域描述。,16,第二节 周期信号与离散频谱,一 、 傅立叶级数的三角函数展开式,由数学分析可知，任何周期函数在满足（Dirichlet）条件下，则可展成傅氏级数（分解为收敛的三角级数），测试技术中的信号满足狄氏条件。,17,周期函数x（t）可展开为傅立叶级数,18,周期信号由一个或几个、乃至无穷多个不同频 率的谐波叠加而成。 由于n是整数序列，因而谱线是离散的，频率 间隔为2/T0，通常把0=2/T0称为基频 定义 称为n次谐波。,将式中同频率项合并，可改写成,19,例1：对如图周期性三角波进行频谱分析,例：求图1-6中周期性三角波的傅立叶级数。,20,常值分量：,余弦分量的幅值：,正弦分量的幅值：,21,周期性三角波的傅立叶级数：,22,二、 傅立叶级数的复指数函数展开式,欧拉公式：,23,上式即为傅立叶级数的复指数函数形式,24,其中：,幅频谱,相频谱,实幅频谱 虚幅频谱,25,两种傅立叶展开形式的比较：,复指数函数形式的频谱为双边谱（w：-+） 三角函数形式的频谱为单边谱（ w ：0+ ） 两频谱各谐波幅值在量值上有确定关系： 双边幅频谱为偶函数；双边相频谱为奇函数。,26,n可以取正负值，n为负时谐波频率为“负频率”; 角速度按其旋转方向可正可负; 向量可以看成是两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，而虚部则为其在虚轴上投影之差。,27,28,周期信号频谱的特点： 离散性：周期信号的频谱是离散的 谐波性：每条谱线只出现在基波频率的整倍数 上，间隔 n o 收敛性：各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角，n o，An0,29,三、 周期信号的强度,峰值 峰-峰值 xp-p,周期信号的均值,信号的常值分量,30,周期信号的强度表示,绝对均值,全波整流后的均值,有效值：均方根值,均方值：平均功率,31,均方值,周期信号的强度表示,32,第三节 瞬变非周期信号与连续频谱,周期信号可展开成许多乃至无限项简谐信号之和，其频谱具有离散性且诸简谐分量的频率具有一个公约数基频。 具有离散频谱的信号不一定是周期信号，只有其各简谐成分的频率比是有理数时，合成之后才是周期信号。,33,具有离散频谱的非周期信号称为准周期信号。例如，多个独立振源激励起某对象的振动就是这类信号。,34,非周期信号频谱？,均方值,非周期信号,非周期信号频谱 周期信号的频谱是离散的，当 x（t）的周期T0趋于无穷大时，则信号成为非周期信号。 其频谱谱线的频率间隔（=2/T0）趋于无穷小，谱线无限靠近，变量连续取值以致离散谱线的顶点最后演变为一条连续曲线。 非周期信号的频谱是连续的。可将其理解为无限多个、频率无限接近的频率成分所组成的。,35,一 傅立叶变换,X()为x(t)的傅立叶变换 x(t)为X()的傅立叶逆变换,36,互为傅立叶变换对,其中 为信号x（t）的连续频谱值； 为连续相位谱,37,一 傅立叶变换,非周期信号与周期信号的幅值谱的差异 |Cn|的量纲与信号的幅值量纲一致 |X(f)|的量纲与信号的幅值不一样，是单位频宽上的幅值，是频谱密度函数,非周期信号的频谱： |X(f)|f 幅值谱密度图 (f)f 相位谱密度图,38,例：求矩形窗函数w(t)的频谱,由于,39,定义：,40,是偶函数，以2为周期，随着增加而做衰减震荡,sinc的图形,W(f)函数只有实部，没有虚部。幅值频谱为,41,矩形窗函数及其频谱,其相位频谱视sinc(fT)的符号而定当为正值时，相角为零，为负值时，相角为,非周期信号频谱的特点： 非周期信号的频谱是连续的，(-,+) d0 非周期信号可以分解为一系列不同频率正弦信号之和 各正弦分量的的幅值趋向无穷小量,42,二 傅立叶变换的主要性质,（一）奇偶虚实性,一般X(f)是实变量f的复变函数,如果x(t)为实函数，则X(f)一般为具有实部和虚部的复函数，且实部为偶函数，虚部为奇函数 如果x(t)为实偶函数，则IMX(f)=0,X(f)将是实偶函数，即X(f)=ReX(f)=X(-f) 如果x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0,X(f)将是虚奇函数，即X(f)=-jImX(f)=-X(-f) 如果x(t)为虚函数，则上述结论的虚实位置也互相交换,43,（二）对称性,利用这个性质可以利用已知的傅立叶变换对得出相应的变换对。,44,对称性举例,对称性举例,（三）时间尺度改变特性,当时间尺度压缩（k1）时，频谱的频带加宽，幅值压低； 当时间尺度扩展时（k1）时，频谱变窄，幅值增高。,45,时间尺度改变特性举例,K=0.5,K=1,K=2,（四）时移和频移特性,将信号在时域中平移，则其幅值频谱不变，而相频谱中相角的改变量和频率成正比：,46,（五）卷积特性,卷积的定义：,记作：,47,（六）微分和积分特性,48,三 几种典型信号的频谱,（一） 矩形窗函数的频谱,若在时域中截取信号的一段记录长度，相当于原信号和矩形窗函数之乘积，因而所得频谱是原信号频域函数和sinc函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。,49,时域窗宽T愈大，即截取信号时长愈大，主瓣宽度愈小。,（二）函数及其频谱,1、函数的定义 在时间内激发一个矩形脉冲S(t)(或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等)，其面积为1。当0时，S(t)的极限就称为函数，记作（t）。 从函数值极限角度看：,从面积的角度看,50,2、 函数的采样性质 如果函数与某一连续函数f(t)相乘，显然其乘积仅在t=0处为f(0)(t),其余各点（t0）之乘积均为零。其中f(0)(t)是一个强度为f(0)的函数，从函数值看，该乘积趋于无限大，从面积（强度）看，为f(0).,对于有延时t0的函数（t-t0）,它与连续函数f(t)的乘积只在t=t0时刻不为零，而等于强度为f(t0)的函数,51,采样性质： 任何函数f(t)和（t-t0）的乘积是一个强度为f(t0)的函数（t-t0），而该乘积在无限区间的积分是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。 该性质在对连续信号的离散采样是十分重要的。,52,3、函数与其它函数的卷积,一个矩形函数x(t)与函数(t)的卷积为,同理，当函数为（tt0）时,53,函数x(t)与函数卷积的结果:在发生函数的坐标位置上（以此作为坐标原点）将x(t)重新构图。,54,函数与其他函数的卷积举例,4、 （t）的频谱,在时域的函数具有无限宽广的频谱，在所有的频段上都是等强度的（均匀谱）。 根据傅立叶变换的对称性、时移、频移，可得到下列变换对,55,傅里叶变换,逆变换,复指数函数,56,（三）正、余弦函数的频谱密度函数,可认为正、余弦函数是把频域中的两个函数向不同方向频移后之差或和的傅立叶逆变换,57,(四)周期单位脉冲序列的频谱,周期单位脉冲序列梳状函数,58,其中,所以,时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。若时域周期为Ts，则频域脉冲序列的周期为1/Ts，时域脉冲强度为1，频域中强度为1/Ts。,59,周期单位脉冲序列及其频谱,第四节 随机信号,随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。 对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作xi(t)。 样本函数在有限时间上的部分，称为样本记录。 在同一试验条件下，全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记作x(t)，即x(t)=x1(t), x2(t), xi(t),60,61,随机过程的各种平均值（均值、方差、均方值和均方根值等）是按集合平均来计算的。 集合平均不是沿某个样本的时间轴进行的，而是将集合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均。 把按单个样本的时间历程进行平均的计算叫时间平均。,62,随机过程相关定义,平稳随机过程 是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。 各态历经 在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，叫各态历经（遍历性）随机过程。,二、随机信号的主要特征参数,对于各态历经信号：,均值表示信号的常值分量,方差描述随机信号的波动分量 方差的平方根叫标准偏差x,均方值描述随机信号的强度 均方值的正平方根成为均方根值xrms,（一）均值、方差和均方差,63,均值、方差、均方值的相互关系是,对于集合平均的均值和均方值,64,（二）概率密度函数,表示信号落在指定区间的概率。x(t)值落在（x,x+x）区间内的时间为Tx,65,（二）概率密度函数,当样本函数的记录时间T趋于无穷大时，Tx/T的比值就是幅值落在（x,x+x）区间的概率,66,定义幅值概率密度函数为,