2019版高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入第25讲平面向量基本定理及坐标运算学案.docx

第25讲平面向量基本定理及坐标运算考纲要求考情分析命题趋势1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件2017全国卷，122017全国卷，122017江苏卷，122016四川卷，10对平面向量基本定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及向量共线定理的坐标表示及应用分值：5分1两个向量的夹角(1)定义已知两个_非零_向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角(2)范围向量夹角的范围是！0，#，a与b同向时，夹角！0#；a与b反向时，夹角！180#.(3)向量垂直若向量a与b的夹角是！90#，则a与b垂直，记作！ab#.2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_不共线_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_有且只有_一对实数1，2，使a！1e12e2#.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_基底_.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_互相垂直_的向量，叫做把向量正交分解(3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，把有序数对_(x，y)_叫做向量a的坐标，记作a_(x，y)_，其中_x_叫做a在x轴上的坐标，_y_叫做a在y轴上的坐标设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是_终点A的坐标_，即若(x，y)，则A点坐标为_(x，y)_，反之亦成立(O为坐标原点)3平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_(x1x2，y1y2)_，ab_(x1x2，y1y2)_向量的数乘设a(x，y)，R，则a_(x，y)_向量坐标的求法设O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_(x1，y1)_，_(x2x1，y2y1)_4向量共线的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_x1y2x2y1_0，特别地，若x2，y20，则ab.5三点共线定理若，是平面内不共线的向量，则存在实数1，2使12，则当121时，A，B，C三点共线，特别地，当12时，C是A与B的中点解析(1)正确由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移 ，其坐标 均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变(2)正确由基底的定义可知，只要两向量不共线均可作为一组基底(3)错误两向量的夹角，关键要看起点与方向，与的夹角应为ABC的补角(4)正确由平面向量基本定理可知存在唯一实数对，使ae1e2故其表现形式唯一1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()(2)平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底()(3)向量与的夹角为ABC.()(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的()2若向量(1,2)，(3,4)，则(A)A(4,6)B(4，6)C(2，2)D(2,2)解析，(1,2)(3,4)(4,6)3已知向量a(2,1)，b(x，2)，若ab，则ab(A)A(2，1)B(2,1)C(3，1)D(3,1)解析由ab可得2(2)1x0，故x4，所以ab(2，1)4已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与同向的单位向量是(A)ABCD解析A(4,1)，B(7，3)，(3，4)，与同向的单位向量为.5梯形ABCD中，ABCD, AB2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设a，b.若manb，则_4_.解析abaab，m，n1，4.一平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【例1】 (1)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，则！#.第(1)题图第(2)题图(2)如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的最大值为_1_.解析(1)选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得即故.(2)点O是BC的中点，()又m，n，.又M，O，N三点共线，1，即mn2，mn21，当且仅当mn1时取等号，故mn的最大值为1二平面向量共线的坐标表示(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一 个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量【例2】 (1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量(A)A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)(2)若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c(B)AabBabCabDab解析(1)设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3,2)(7，4)(2)设c1a2b，则(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，解得所以cab.三平面向量的坐标运算向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则【例3】 (1)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(，R)，则的值为_6_.第(1)题图第(2)题图(2)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yR，则xy的最大值为_2_.解析(1)如图，作平行四边形OB1CA1，则，因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以B1OC90.在RtOCB1中，OCB130，|OC|2，所以|OB1|2，|B1C|4，而|OA1|B1C|4，所以42，则4，2，即6.(2)以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B，设AOC，则C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.1已知向量a(3，2)，b(x，y1)且ab，若x，y均为正数，则的最小值是(B)A24B8CD解析ab，2x3(y1)0，即2x3y3，(2x3y)8，当且仅当2x3y时，等号成立的最小值是8，故选B2如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则(C)ABCD解析().3(2018北京海淀模拟)已知向量a(1,1)，点A(3,0)，点B为直线y2x上的一个动点若a，则点B的坐标为(3，6)解析设B(x,2x)，则(x3,2x)a，x32x0，解得x3，B(3，6)4(2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1,1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_3_.解析以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，由tan 7，得sin ，cos ，设C(xC，yC)B(xB，yB)，则xC|cos ，yC|sin ，即C.又cos(45)，sin(45)，则xB|cos(45)，yB|sin(45)，即B，由mn，可得解得所以mn3.易错点不会正确选用基向量错因分析：基向量通常取整个图形中从同一点出发的两边所对应的向量【例1】 在ABO中，AD与BC相交于M，设a，b，试用a与b表示.解析如图，A，M，D三点共线(1)；B，M，C三点共线(1).于是有解得所以ab.【跟踪训练1】 (2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是(B)A2BCD1解析如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x222，当x0，y时，()取得最小值为，故选B课时达标第25讲解密考纲本考点重点考查向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下一、选择题1若向量(2,4)，(1,3)，则(B)A(1,1)B(1，1)C(3,7)D(3，7)解析因为(2,4)，(1,3)，所以(1,3)(2,4)(1，1)，故选B2已知向量m(a，2)，n(1,1a)，且mn，则实数a(B)A1B2或1C2D2解析因为mn，所以a(1a)2，即a2a20，解得a1或a2，故选B3在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，A(0,1)，B(1，2)，C(m,0)若，则实数m(C)A2BCD2解析在平面直角坐标系xOy中，点O(0,0)，A(0,1)，B(1，2)，C(m,0)，所以(1，2)，(m，1)又因为，所以，m，故选C4已知点O是ABC的外接圆圆心，且AB3，AC4.若存在非零实数x，y，使得xy，且x2y1，则cosBAC(A)ABCD解析设M为AC的中点，则xyx2y.因为x2y1，所以O，B，M三点共线又因为O是ABC的外接圆圆心，所以BMAC，从而cosBAC，故选A5如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2P，则(A)Ax，yBx，yCx，yDx，y解析由题意知B，又2P，所以O()O，所以x，y.6如图所示，在ABC中，点M，N分别在AB，AC上，且2，线段CM与BN相交于点P，且a，b，则用a和b表示为(A)AabBabCabDab解析由于a，b，b，则ba，ba.设，由，得a，得解得因此aab.二、填空题7已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_5_.解析a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，ac(3k，6)(ac)b，1(6)3(3k)，解得k5.8已知向量(3,4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是！m#.解析因为(3，7)，(2m，7m)，点A，B，C能构成三角形，所以点A，B，C不共线，即与不共线，所以3(7m)(7)(2m)0，解得m，故实数m应满足m.9在ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB，AC于M，N两点若x，y，则4xy的最小值为！#.解析由题意知()，.M，E，N三点共线，(1)(其中01，则4xyt(t1)，当且仅当t，即时取得等号三、解答题10已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解析(1)a(1,0)，b(2,1)，a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，kab与a3b平行，3(k2)70，即k.此时kab(k2，1)，a3b(7,3)，则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反11已知平面上三个点的坐标分别为A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使得A，B，C，D四点构成平行四边形解析设D(x，y)，由ABCD为平行四边形得，即(1,2)(3x，4