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立立体体几几何何知知识识点点总总结结完完整整版版 ?2013 考考纲纲解解读读? 1?面的概念及?面的表示法?理解?个?理及?个推论的内容及作用?初?掌握性 质?推论的简单?用? 2?空间两条直线的?种位置关系?并会判定? 3?行?理?等角定理及?推论?了解它们的作用?会用它们来证明简单的几何问题? 掌握证明空间两直线?行及角相等的方法? 4?异面直线所成角的定?异面直线垂直的概念?会用?形来表示两条异面直线?掌 握异面直线所成角的范围?会求异面直线的所成角? 5.理解空间向?的概念?掌握空间向?的加法?法和数乘;了解空间向?的基本定理? 理解空间向?坐标的概念?掌握空间向?的坐标?算;掌握空间向?的数?的定?及?性 质?掌握用直角坐标计算空间向?数?式. 6.了解多面体?凸多面体?多面体?棱柱?棱锥?球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并 会灵活?用,掌握球的表面?体?式;能画出简单空间?形的?视?能识别?述的?视 ?所表示的立体模型?会用斜二测法画出它们的直?. 7.空间?行?垂直关系的论证. 8. 掌握直线?面所成角?二面角的计算方法?掌握?垂线定理及?逆定理?并能熟 ?解决有关问题,进一?掌握异面直线所成角的求解方法?熟?解决有关问题. 9.理解点到?面?直线和直线?直线和?面?面和?面距离的概念会用求距离的常用 方法?如?直接法?转?法?向?法?.对异面直线的距离只要求学生掌握作出?垂线段或 用向?表示的情况?和距离?式计算距离? ?知知识识络络构构建建? ?重重点点知知识识整整合合? 1?空间几何体的?视? (1)?视?线?几何体的前面向后面?投影得到的投影? (2)侧视?线?几何体的?面向右面?投影得到的投影? (3)俯视?线?几何体的?面向?面?投影得到的投影? 几何体的?视?侧视?和俯视?统?几何体的?视? 2?斜二测画水?放置的?面?形的基本?骤 (1)建立直角坐标系?在已知水?放置的?面?形中取互相垂直的 Ox?Oy?建立直角坐 标系? (2)画出斜坐标系?在画直?的纸?(?面?)画出对?的 Ox?Oy?使xOy?45(或 135)?它们确定的?面表示水?面? (3)画对?形?在已知?形中?行于 x 轴的线段?在直?中画成?行于 x轴?且长度 保持?变?在已知?形中?行于 y 轴的线段?在直?中画成?行于 y轴?且长度变?原来 的一半? (4)擦去辅?线?画好后?要擦去 x 轴?y 轴及?画?添加的辅?线(虚线)? 3.体?表面?式: (1)柱体的体?式:V= 柱 Sh;锥体的体?式: V= 锥 1 3 Sh; ?体的体?式: V= 棱? 1 () 3 h SSSS+;球的体?式: V= 球 3 4 3 r. (2)球的表面?式: 2 4SR= 球 . ?高高频频考考点点突突破破? 考考点点一一 空空间间几几何何体体?视视? 1?一个物体的?视?的排列规则是?俯视?放在?视?的 ?面? 长度?视?的长度一样? 侧视?放在?视?的右面? 高度?视?的高度一样? 宽度?俯视?的宽度一样?即“长对?高?齐?宽相等”? 2?画直?时?坐标轴?行的线段?行? x 轴?z 轴 ?行的线段长度?变? y 轴?行的线段长度?半? 例 1?将长方体截去一个四棱锥?得到的几何体如?所示?则该几何体的侧视? ( ) 解析?如?所示?点 D1的投影?点 C1?点 D 的投影?点 C?点 A 的投影?点 B. 答案?D ?方法技?该类问题?要有两种类型?一是由几何体确定?视?二是由?视?原 成几何体?解决该类问题的关键是找准投影面及?个视?之间的关系?抓住“?侧一样高? ?俯一样长?俯侧一样宽”的特点作出判断. 考考点点二二 空空间间几几何何体体的的表表面面?和和体体? 常?的一些简单几何体的表面?和体?式? 圆柱的表面?式?S?2r2?2rl?2r(r?l)(?中 r ?面半径?l ?圆柱的高)? 圆锥的表面?式?S?r2?rl?r(r?l)(?中 r ?面半径?l ?母线长)? 圆?的表面?式?S?(r2?r2?rl?rl)(?中 r 和 r?别?圆?的?面半径?l ?母线长)? 柱体的体?式?V?Sh(S ?面面?h ?高)? 锥体的体?式?V?1 3Sh(S ?面面?h ?高)? ?体的体?式?V?1 3(S? SS?S)h(S?S ?别?面面?h ?高)? 球的表面?和体?式?S?4R2?V?4 3R 3(R ?球的半径)? 例 2?如?所示?某几何体的?视?是?行四边形?侧视?和俯视?都是矩形?则该几 何体的体? ( ) A?6 3 B?9 3 C?12 3 D?18 3 解析? 由?视?原几何体的直?如?所示? ?几何体?通过?割和补形的方法拼 凑成一个长和宽均? 3?高? 3的长方体?所求体? V?33 3?9 3. 答案?B ?方法技? 1?求?棱锥体?时?多角度地选择方法?如体?割?体?差?等?转?法是常用 的方法? 2?视?相结合考查面?或体?的计算时?解决时?原几何体?计算时要结合? 面?形?要弄错相关数? 3?求?规则几何体的体?常用?割或补形的思想将?规则几何体转?规则几何体? 易于求解? 4?对于?合体的表面?要注意?衔接部?的处理. 考考点点? 球球?空空间间几几何何体体的的“?”“接接”问问题题 1?长方体?方体的外接球?体对角线长?该球的直径? 2?方体的内?球?棱长?球的直径? 3?棱锥的外接球中要注意?棱锥的顶点?球心及?面?角形中心共线? 4?四面体的外接球?内?球的半径之比? 3?1. 例 3?一个棱锥的?视?如?则该棱锥的外接球的表面?_? ?方法技?1?涉及球?棱柱?棱锥的?接问题时?一般过球心及多面体中的特殊点或 线作截面?把空间问题?面问题? 2?若球面?四点 P?A?B?C 构成的线段 PA?PB?PC 两两垂直?且 PA?a?PB?b? PC?c?则 4R2?a2?b2?c2(R ?球半径)?采用“补形”法?构造长方体或?方体的外接球 去处理? 考考点点四四 空空间间线线线线?线线面面位位置置关关系系 (1)线面?行的判定定理?a?b?aba. (2)线面?行的性质定理?a?a?bab. (3)线面垂直的判定定理? m?n?mn?P?lm?lnl. (4)线面垂直的性质定理?a?bab. 例 4?如?在四面体 PABC 中?PCAB?PABC?点 D?E?F?G ?别是 棱 AP?AC?BC?PB 的中点? (1)求证?DE?面 BCP? (2)求证?四边形 DEFG ?矩形? (3)是否?在点 Q?到四面体 PABC ?条棱的中点的距离相等?说明理由? 解?(1)证明?因? D?E ?别? AP?AC 的中点? 所? DEPC. 又因? DE?面 BCP? 所? DE?面 BCP. (2)证明?因? D?E?F?G ?别? AP?AC?BC?PB 的中点? 所? DEPCFG?DGABEF. 所?四边形 DEFG ?行四边形? 又因? PCAB? 所? DEDG. 所?四边形 DEFG ?矩形? (3)?在点 Q 满足条件?理由如? 连接 DF?EG?设 Q ? EG 的中点? 由(2)知?DFEG?Q?且 QD?QE ?QF?QG?1 2EG. ?别取 PC?AB 的中点 M?N?连接 ME?EN?NG?MG?MN. ?(2)同理?证四边形 MENG ?矩形?对角线交点? EG 的中点 Q?且 QM?QN?1 2 EG? 所? Q ?满足条件的点? ?方法技? 1?证明线线?行常用的两种方法? (1)构造?行四边形? (2)构造?角形的中位线? 2?证明线面?行常用的两种方法? (1)转?线线?行? (2)转?面面?行? 3?证明直线?面垂直往往转?证明直线?直线垂直?而证明直线?直线垂直又需 要转?证明直线?面垂直. 考考点点五五 空空间间面面面面位位置置关关系系 1?面面垂直的判定定理?a?a. 2?面面垂直的性质定理? ?l?a?ala. 3?面面?行的判定定理? a?b?ab?A?a?b. 4?面面?行的性质定理? ?a?bab. 5?面面?行的证明?有?它方法? 1 a?b且ab?A c?d且cd?B ac?bd ? (2)a?a . 例 5?如?在四棱锥 P?ABCD 中?面 PAD?面 ABCD?AB?AD?BAD?60? E?F ?别是 AP?AD 的中点?求证? (1)直线 EF?面 PCD? (2)?面 BEF?面 PAD. ?证明?(1)如?在PAD 中? 因? E?F ?别? AP?AD 的中点? ?方法技? 1?垂直问题的转?方向 面面垂直线面垂直线线垂直?要依据有关定?及判定定理和性质定理证明?体 如? (1)证明线线垂直?线线垂直的定?线面垂直的定?勾股定理等?面几何中 的有关定理? (2)证明线面垂直?线面垂直的判定定理?线面垂直的性质定理?面面垂直的性 质定理? (3)证明面面垂直?面面垂直的定?面面垂直的判定定理? 2?证明面面?行的常用的方法是利用判定定理?关键是结合?形?条件在?面内寻 找两相交直线?别?行于另一?面. 例 6?如?面 PAC?面 ABC?ABC 是? AC ?斜边的等腰直角?角形?E?F?O ?别? PA?PB?AC 的中点?AC?16?PA?PC?10. (1)设 G 是 OC 的中点?证明?FG?面 BOE? (2)证明?在ABO 内?在一点 M?使 FM?面 BOE. ?证明? (1)如?连接 OP?点 O ?坐标原点?OB?OC?OP 所在直线? x 轴?y 轴?z 轴? 建立空间直角坐标系 O?xyz?则 O(0,0,0)?A(0?8,0)?B(8,0,0)?C(0,8,0)?P(0,0,6)?E(0? ?4,3)?F(4,0,3)? ?方法技? 1?用向?法来证明?行?垂直?避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了?把几何问 题?数?尤?是?方体?长方体?直四棱柱中相关问题证明用向?法更简捷?但是向?法 要求计算必须准确无误? 2?利用向?法的关键是?确求?面的法向?赋值时注意?灵活性?注意(0,0,0)?能 作?法向?. 考考点点七七 利利用用空空间间向向?求求角角 1?向?法求异面直线所成的角? 若异面直线 a?b 的方向向?别? a?b?异面直线所成的角? ?则 cos?|cos?a?b? |?|ab| |a|b|. 2?向?法求线面所成的角? 求出?面的法向? n?直线的方向向? a?设线面所成的角? ?则 sin?|cos?n?a? |?|na| |n|a|. 3?向?法求二面角? 求出二面角 ?l? 的两个半?面 ? 的法向? n1?n2?若二面角 ?l? 所成的角 ?锐角? 则 cos?|cos?n1?n2?|?|n1n2| |n1|n2|? 若二面角 ?l? 所成的角 ?钝角? 则 cos?|cos?n1?n2?|?|n1n2| |n1|n2|. 例 7?如?在四棱锥 P?ABCD 中? PA?面 ABCD?面 ABCD 是菱形? AB?2? BAD?60. (1)求证?BD?面 PAC? (2)若 PA?AB?求 PB ? AC 所成角的余弦值? (3)?面 PBC ?面 PDC 垂直时?求 PA 的长? (3)由(2)知?(?1? 3?0) 设 P(0? 3?t)(t?0)? 则?(?1? 3?t)? 设?面 PBC 的一个法向? m?(x?y?z)? 考考点点? 利利用用空空间间向向?解解决决探探索索性性问问题题 利用空间向?解决探索性问题?它无需进行复杂繁难的作?论证?推理?只须通过坐 标?算进行判断?在解题过程中?往往把“是否?在”问题?转?“点的坐标是否有解?是 否有规定范围的解”等?使问题的解决更简单?有效?善于?用?一方法? 例 8?如?在?棱锥 P?ABC 中?AB?AC?D ? BC 的中点? PO?面 ABC?垂 足 O 落在线段 AD ? 已知 BC?8?PO?4?AO?3?OD?2. (1)证明?APBC? (2)在线段 AP ?是否?在点 M?使得二面角 A?MC?B ?直二面角?若?在?求出 AM 的长?若?在?请说明理由? 解?(1)证明?如? O ?原点?射线 OP ? z 轴的?半轴?建立空间直角坐标系 O ?xyz. 即 x1?0? z1?2?3 4?4y1? ?取 n1?(0,1?2?3 4?4)? 由 n2?0? n2?0? 即 3y2?4z2?0? ?4x2?5y2?0? 得 x2?5 4y2? z2?3 4y2? ?取 n2?(5,4?3)? 由 n1n2?0?得 4?32?3 4?4?0? 解得 ?2 5?故 AM?3. 综?所述?在点 M 符合题意?AM?3. ?难难点点探探究究? 难难点点一一 空空间间几几何何体体的的表表面面?和和体体? 例 1? ?1?一个空间几何体的?视?如?所示?则该几何体的表面?( ) A?48 B?32?8 17 C?48?8 17 D?80 (2)某几何体的?视?如?所示?则该几何体的体?( ) A?9 2?12 B? 9 2?18 C?9?42 D?36?18 ?答案? ?1?C (2)B ?解析? (1)由?视?知本题所给的是一个?面?等腰梯形的放倒的直四棱柱(如? 所示)? 所?该直四棱柱的表面? S?21 2(2?4)4?44?24?2 1?164?48?8 17. (2)由?视?得?个几何体是由?面是一个直径? 3 的球?面是一个长?宽都? 3? 高? 2 的长方体所构成的几何体?则?体?V?V1?V2?4 3 3 2 3?332?9 2?18?故 选 B. 难难点点二二 球球?多多面面体体 例 2?已知球的直径 SC?4?A?B 是该球球面?的两点?AB? 3?ASC?BSC? 30?则棱锥 S?ABC 的体?( ) A?3 3 B?2 3 C. 3 D?1 ?解解题题规规律律?技技? 1?真实?形中和两坐标轴?行的线段在直?中?然和两坐标轴?行?在真实?形中 ? x 轴?行的线段在直?中长度?变? 在真实?形中和 y 轴?行的线段在直?中变?原 来的一半?种画法蕴含着一个一般的规律?在斜二测画法中?真实?形的面?和直?的 面?之比是 2 2. 2?空间几何体的面?有侧面?和表面?之?表面?就是全面?是一个空间几何体 中“暴露”在外的所有面的面?在计算时要注意区?“是侧面?是表面?”?多面体的表面 ?就是?所有面的面?之和?旋转体的表面?除了球之外?都是?侧面?和?面面?之和? 3?实际问题中的几何体往往?是单纯的柱?锥?球?往往是由柱?锥?球或 ?一部?成的?合体?解决?类?合体体?的基本方法就是“?解”?将?合体“?解成若 ?部?部?是柱?锥?球或?一个部?别计算?体?”?然后根据?合体的结 构?将整个的体?转?些“部?体?”的和或差? ?历历届届高高考考真真题题? ?2012 ?高高考考试试题题? 一?选择题 1.?2012 高考真题新课标理 7?如?格纸?小?方形的边长?1?粗线画出的 是某几何体的?视? 则?几何体的体? ? ? ( )A6 ( )B 9 ( )C12 ()D18 2.?2012 高考真题浙江理 10?已知矩形 ABCD?AB=1?BC=2?将沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折?在翻折过程中? A.?在某个位置?使得直线 AC ?直线 BD 垂直. B.?在某个位置?使得直线 AB ?直线 CD 垂直. C.?在某个位置?使得直线 AD ?直线 BC 垂直. D.对任意位置?对直线“AC ? BD”?“AB ? CD”?“AD ? BC”均?垂直 ?答案?C ?解析?最简单的方法是取一长方形?手按照?要求进行翻着?察在翻着过程?即? 知选项 C 是?确的? 3.?2012 高考真题新课标理 11?已知?棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面? ABC是边长?1的?角形?SC?球O的直径?且2SC =?则?棱锥的体? ? ( )A 2 6 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ()D 2 2 4.?2012 高考真题四川理 6?列命题?确的是? ? A?若两条直线和同一个?面所成的角相等?则?两条直线?行 B?若一个?面内有?个点到另一个?面的距离相等?则?两个?面?行 C?若一条直线?行于两个相交?面?则?条直线?两个?面的交线?行 D?若两个?面都垂直于第?个?面?则?两个?面?行 5.?2012 高考真题四川理 10?如?半径?R的半球O的?面圆O在?面内?过点O作 ?面的垂线交半球面于点A? 过圆O的直径CD作?面成45o角的?面?半球面相交? 所得交线?到?面的距离最大的点?B? 该交线?的一点P满足60BOP= o ? 则A?P 两点间的球面距离? ? C A O D B P A? 2 arccos 4 R B? 4 R C? 3 arccos 3 R D? 3 R 6.?2012 高考真题陕西理 5?如?在空间直角坐标系中有直?棱柱 111 ABCABC? 1 2CACCCB=?则直线 1 BC?直线 1 AB夹角的余弦值? ? A. 5 5 B. 5 3 C. 2 5 5 D. 3 5 ?答案?A. ?解析?设aCB = |?则aCCCA2| 1 =? ),2 , 0(),0 ,2 , 0(), 0 , 0(),0 , 0 ,2( 11 aaBaCaBaA? ),2 , 0(),2 ,2( 11 aaBCaaaAB=? 5 5 | ,cos 11 11 11 = =?(1, 3)x时?( )0fx = uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r uuu ruuu ruuu ruuu r,即 由?知?( 4,2,0),(0,0,),CDAPh= = uuu ruuu r 由(4,0,),PBh= uuu r 故 2 2 2 160000 . 16 2 516 h hh h + = + + 解得 8 5 5 h =. 又梯形ABCD的面? 1 (53) 416 2 S =+=?所?四棱锥PABCD的体? 118 5128 5 16 33515 VSPA=. ?2011 ?高高考考试试题题? 一一?选选择择题题: 1. (2011 ?高高考考山山东东卷卷理理科科 11)?是是长长和和宽宽?别别相相等等的的两两个个矩矩形形?给给定定?列列?个个命命题题? ?在在?棱棱柱柱?(?)视视?俯俯视视?如如?在在四四棱棱柱柱?(?)视视?俯俯视视?如如 ?在在圆圆柱柱?(?)视视?俯俯视视?如如?中中真真命命题题的的个个数数是是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 ?答案?A ?解析?对于?,?是放倒的?棱柱?容易判断?. 4.(2011 ?高高考考安安徽徽卷卷理理科科 6)一个空间几何体得?视?如?所示?则该几何体的表面? ? ?A? 48 (B)32+817 (C) 48+817 (D) 80 ?答案?C ?解析? 由?视?知几何体是?面是等腰梯形的直棱柱.?面等腰梯形的?2? ? ?4?高?4? ?故 S 2+4 =42+42+44+4 172 2 = 48+8 17 表 5.(2011 ?高高考考?宁宁卷卷理理科科 8)如? 四棱锥S-ABCD的?面?方形?SD?面ABCD? 则?列结论中?确 ? 的是? ? (A) ACSB (B) AB?面SCD (C) SA?面SBD所成的角等于SC?面SBD所成的角 (D)AB?SC所成的角等于DC?SA所成的角 8?(2011 ?高高考考江江西西卷卷理理科科 8)已知 1 ? 2 ? 3 是?个相互?行的?面?面 1 ? 2 之间 的距离? 1 d? ?面 2 ? 3 之间的距离? 2 d? 直线l? 1 ? 2 ? 3 ?别相交于 1 P? 2 P? 3 P? 那?“ 12 PP= 23 P P”是“ 12 dd=”的 A.充?必要条件 B.必要?充?条件 C?充?必要条件 D?既?充?也?必要条件 ?答案?C ?解析?过点 1 P作?面 2 的垂线g,交?面 2 ? 3 ?别于点A?B两点,由两个?面? 行的性质?知 2 P A 3 PB,所? 121 122 PPd PPd =,故选C. 3 3 2 ?视? 侧视? 俯视? ?1 9. (2011 ?高高考考湖湖南南卷卷理理科科 3)设?1是某几何体的?视?则该几何体的体? A.12 2 9 + B. 18 2 9 + C. 429+ D. 1836+ 答案?B 解析? 由?视?原?一个?面?边长是3的?方形? 高?2的长方体?及一个直 径?3的球?成的简单几何体?体?等于=+233) 2 3 ( 3 4 3 18 2 9 + ?故选B 10.(2011 ?高高考考广广东东卷卷理理科科 7)如如? l3?某某几几何何体体的的?视视?(?视视?)是是?行行四四边边形形?侧侧 视视?(?视视?)和和俯俯视视?都都是是矩矩形形?则则该该几几何何体体的的体体? ? A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3 ?解析?B.由题得?视?对?的直?是如?所示的直四棱柱?.ABCDEA?面 393123 2 =hSV ABCD?行四边形 ?所?选B 11.(2011 ?高高考考陕陕西西卷卷理理科科 5)某几何体的?视?如?所示?则它的体?是 ?A? 2 8 3 ?B?8 3 ?C?82?D? 2 3 ?答案?A 12.(2011 ?高高考考重重庆庆卷卷理理科科 9)高? 2 4 的四棱锥S-ABCD的 ?面是边长?1的?方形?点S?A?B?C?D均在半径?1 的同一球面? 则?面ABCD的中心?顶点S之间的距离? ?A? 2 4 ?B? 2 2 ?C?1 ?D?2 解析?选C. 设?面中心?G?球心?O?则易得 2 2 AG =?于是 2 2 OG =?用一 个?ABCD所在?面距离等于 2 4 的?面去截球?S便?中一个交点?面的中心设 H G F E D C B A 3 1 2 3 ?H?则 222 244 OH =?故 2 22 27 1 48 SH = ?故 2 22 72 1 84 SGSHHG =+=+= 15. (2011 ?高高考考全全?卷卷理理科科 11)已知?面截一球面得圆M?过圆心M且?成 0 60? 二面角的?面截该球面得圆N?若该球的半径?4?圆M的面?4?则圆N的面? ? (A)7 (B)9 (c)11 (D)13 ?答案?D ?解析?由圆M的面?4得2MA =? 222 4212OM= 2 3OM=?在 0 30Rt ONMOMN=中, 2 1 3,313 2 ONOM= 以 r称 巧 13 N S= 圆 故选D 二二?填填空空题题: 1.(2011 ?高高考考?宁宁卷卷理理科科 15)一个?棱柱的侧棱长和?面边长相等?体?32? 它的?视?中的俯视?如右?所示?视?是一个矩形?则?个矩形的面?是 _. 60 B A O N M 2. (2011 ?高高考考全全?新新课课标标卷卷理理科科15)已知矩形ABCD的顶点都在半径?4的球O的球 面?且6,2 3ABBC=,则棱锥OABCD的体? ? 答案: 38 解析?如?连接矩形对角线的交点 1 O和球心O,则? 32 2 1 , 34 1 =ACAOAC,四棱锥的高? 2)32(4 22 1 =OO, 所?体?382326 3 1 =V 3?(2011 ?高高考考天天津津卷卷理理科科 10)一一个个几 几何何体体的的?视视?如如?所所示示?单单位位?m? ?则则?个个几几 何何体体的的体体?_ 3 m 4. (2011 ?高高考考四四川川卷卷理理科科 15)如? 半径?R的球O中有一内接圆柱.?圆柱的侧面?最大 时?求球的表面?该圆柱的侧面?之差是 . 答案? 2 2R 解析? 22222 max 224()SrRrrRrS= 侧侧 时? 2 2222 2 22 R rRrrrR=?则 222 422RRR= ?解解答答题题: j o1 B D C A o 1. (2011 ?高高考考山山东东卷卷理理科科 19)?本本小小题题满满? 12 ?在在如如?所所示示的的几几何何体体中中?四四边边形形 ABCD ?行行四四边边形形? ACB=90?面面?EF? ?.?=?. ?)若若是是线线段段?的的中中点点?求求证证?面面?; ?若若?=?,求求二二面面角角?-?-?的的大大小小? ?解析? ?)连结AF,因?EF? EF?=F,所?面EFG?面ABCD,又易证 EFGABC, 所? 1 2 FGEF BCAB =,即 1 2 FGBC=,即 1 2 FGAD=,又 M?AD 的中点,所? 1 2 AMAD=,又因?D?所 ?M,所?四边形AMGF是?行四边形,故 GMFA,又因?面?,FA?面? ?,所?面?. ?取AB的中点O,连结CO,因?,所?COAB, 又因?面?CO?面?,所?CO, 又?AB=A,所?CO?面?,在?面ABEF内,过点O作OHBF于H,连结 CH,由?垂线定理知: CHBF,所?CHO?二面角?-?-?的?面角. 设?=?=2a,因? ACB=90? ?=2a,CO=a, 2 2 AEa=,连结FO, 容易证得FOEA且 2 2 FOa=,所? 6 2 BFa=,所?OH= 22 26 a= 3 3 a,所?在 Rt COH中,tan CHO= CO OH =3,故 CHO=60o,所?二面角?-?-?的大小?60o. 2.(2011?高高考考浙浙江江卷卷理理科科20) ?本题满?15? 如? 在?棱锥PABC中?ABAC=? D?BC的中点?PO?面ABC?垂足O落在线段AD?已知BC=8?PO=4?AO=3? OD=2?证明?APBC? ?在线段AP?是否?在点M?使得二面角A-MC-?直 二面角?若?在?求出AM的长?若?在?请说明理由? ?面APC的法向? 2222 (,)nxyz= uu r 由 1 2 0 0 BM n BC n = = uuuu r ur uuu r uu r 得 111 1 4(23 )(44 )0 80 xyz x += = 即 1 11 0 23 44 x zy = + = ?取 1 23 (0,1,) 44 n + = ur 由 2 2 0 0 AP n AC n = = uuu r uu r uuur uu r即 22 22 340 450 yz xy += += 得 22 22 5 4 3 4 xy zy = = ?取 2 (5,4, 3)n = uu r ?由 12 0n n= ur uu r 得 23 430 44 + = 解得 4 5 = ?故3AM = 综?所述?在点M 符合题意?3AM = ?而cos2PMPBBPA=?所?3AMPAPM=综?所述?在点M 符合题意? 3AM =. 5. (2011 ?高高考考全全?新新课课标标卷卷理理科科 18) (本小题满?12?) 如? 四棱锥PABCD中? ?面ABCD?行四边形?DAB=60,AB=2AD,PD ?面ABCD. a 2a B DC A p ()? 证明?PABD? ()? 若PD=AD?求二面角A-PB-C的余弦值? 8?(2011 ?高高考考湖湖南南卷卷理理科科 19)?本小题满?12? 如?5?在圆锥PO中?已知PO=2?O的直径2AB =,C是AB的中点?D ?AC的中点? ?证明?面POD ?面PAC; ?求二面角BPAC的余弦值. 解法1?连结OC?因?,OAOC DAC=是的中点,所?ACO. 又PO ?面O ?AC?面O ?所?ACPO? 因?OD?PO是?面POD内的两条相交直线?所?AC ?面POD? 而AC ?面PAC?所?面POD?面PAC? ?II?在?面POD中?过O作OHPD于H?由?I?知? ?面,PODPAC?面 所?OH ?面PAC?又PA面PAC?所? .PAOH 在?面PAO中?过O作OG PA 于G?连接 HG? 则有PA ?面OGH? ?而PAHG? 故OGH?二面角BPAC的?面角? 在 2 ,sin45. 2 Rt ODAODOA= =中 在 22 2 2 10 2 ,. 51 2 2 PO OD Rt PODOH POOD = + + 中 在 22 2 16 ,. 321 PO OA Rt POAOG POOA = + + 中 在 10 15 5 ,sin. 56 3 OH Rt OHGOGH OG =中 所? 2 1510 cos1 sin1. 255 OGHOGH=故二面角BPAC的余 弦值? 10 . 5 所? 11111 0,1,(1,1,0).zxyyn=取得设 2222 (,)nxyz=是?面PAC的一个法向 ? 则由 22 0,0nPAnPC= uuu ruuu r ?得 22 22 20, 20. xz yz = += 所? 22222 2,2.1,xzyz= =取z得 2 (2, 2,1)n = ? 因? 12 (1,1,0) (2, 2,1)0,n n= = 9. (2011 ?高高考考广广东东卷卷理理科科 18)如如? 5?在在椎椎体体PABCD中中?ABCD是是边边长长? 1 的的棱棱形形? 且且 0 60DAB=,2PAPD=,2,PB =,E F?别别是是,BC PC的的中中点点? ?1? 证证明明?ADDEF?面 ?2?求求二二面面角角PADB的的余余弦弦值值? ?解解析析?法一? ?1?证明?取AD中点G?连接PG?BG?BD? 因PA=PD?有PGAD?在ABD中?1,60ABADDAB=?有ABD? 等 边 ? 角 形 ? 因 ?,BGAD BGPGG=? 所 ?AD ? 面 PBG,.ADPB ADGB 又PB/EF?得ADEF?而DE/GB得AD DE?又FEDEE=?所?AD ?面DEF? ?2?,PGAD