“椭圆光学性质”的古今三种证明方法及思考.pdf

2 0 1 2年 第 5 1卷第 1 O期 数 学通 报 3 5 “ 椭圆光学性质” 的古今三种证明方法及思考 李 健 童 莉 ( 重庆师 范大学数学学院4 0 1 3 3 1 ) 1 椭 圆光学 性质 简 介 椭 圆光学性质是指 ： 由椭 圆一焦点射 出的光 线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点 其 等价形 式有 ： 椭圆上任意点的切线 与两焦半径所成夹角 相 同 椭 圆 的光 学性 质 在 生产 与科 技 方 面有 着 广 泛 应用 ， 如 电影 放 映机 的 聚光 灯 泡 ( 如 图 1 ) ， 以及 光 能 的换 位 聚焦等 就 是利 用椭 圆 的这 一性 质 图 1椭 圆 光 学 性 质 在 电 影 放 映 中的 应 用 示 意 图 2 椭 圆光 学性 质 的三种 证 明方 法及 评价 从古至今 ， 椭 圆的光学性质都是 数学家们探 讨和分析 的热点 ， 不少数学家从不同的角度给出 了不 同的证明方法 下面， 我们就古今三种比较典 型的证明方法( 阿波罗尼奥斯的经典证法 、 希尔伯 特的直观证法和笛卡尔 的解析证法) 作一较为详 尽 的阐述 2 1经典 证 法 经典 证法 源 于古 希腊 亚历 山大 时期数 学 三杰 之一的阿波罗尼奥斯的 圆锥 曲线论 这本著作 几乎囊尽圆锥 曲线 的所有性质 ， 致使将 近之后 的 2 0 0 0余年， 数学家们在此领域几无建树 ， 所 以 圆 锥 曲线论 也 当仁不让 的成为了其领 域上巍然屹 立的丰碑 ， 古典希腊几何的登峰造极之作 阿波 罗尼奥斯因深受欧几里德的 几何原本 影响 ， 使 得 圆锥 曲线论 的编写方式也采取公理化体系 这种仅依靠最初 的几个公理 ， 以及逐个往后推导 出的命题 、 结论 ， 不断进行严格演绎而得出结论的 几何证明思想 ， 为我们 叩开 了解决几何 问题 的大 门 在 圆锥 曲线论 的第三卷的命题 4 8中如此阐 述 了椭圆的光学性质 ： “ 要求证 明， 从切点到两贴 合点的直线与这切线构成相等的角” 问题改述 “ 贴合点” 即是我们现在所说的焦 点 现有一个 长轴为 AB 的椭 圆 ( 原命题 针对椭 圆、 双曲线都适用 ， 此处我们仅 以椭 圆为例) ， 焦点 G、 F， 过 椭 圆 上 一 点 E 作 椭 圆 的 切 线 求 证 ： KE G一 C EF( 点 C、 K 的由来 在证 明 中说 明) 证明L 2 如图 2所示 ， 过点 A、 B分别作垂直 于长轴 AB 的直 线与 切线交 于点 C、 D， 并 延长 AB交切线 于点 K， 连结 DG、 DF、 C G、 C F， 并设 DF交 C G 于点 H ， 再连结 EH 由 圆锥曲线论 第三章命题 4 5 、 4 7 ( 由命题 4 5 得 DG C= DF C 一 ，命题 4 7得 EH上DC ) 知 ， DEH= ： ： DGH 厶 一 _ 竺 _ ， 则 D、 E、 H、 G四点共 圆， 因而有 DHG一 厶 DE G； 同理可得 ， C、 E、 H、 F 四点共 圆， 进 而有 C EF= C HF 。因 为 DHG一 C HF， 所 以 DEG一 C EF， 得 证 图 2 评价首先 ， 由于深受 几何原本 影响， 所以 阿波罗尼奥斯 在证明此命题时运用 了 圆锥 曲线 论 第三章的命题 4 5 、 4 7 ， 已体现 出了“ 由前推后” 3 6 数 学通报 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 1 0期 的公理化思想 其次 ， 证 明完全采用演绎 推理 ， 重 视抽象的关系 ， 而并没有提到到底角度是多少 ， 边 长是多少 ， 这种古典的数学思想对后人认清数学 的本质产生 了积极的作用 最后 ， 不得不说的是本 命题利用两个“ 四点共圆” 来证 明， 构思巧妙至极 2 2直观 证 法 直观证法源于 2 O世纪数学大家 、 形式主义奠 基人 D 希尔伯特的几何学著作 直观几何 ， 此书 中的直观证法较之 圆锥 曲线论 中的经典证法 ， 则更注重几何图形 中关系 的具体意义， 用其书中 原话说 ：“ 希望读者易于看透数学的本质 ， 不致在 繁 难 的学 习面 前 望 而 却 步 ， 从 而 使 数学 更 易 于为 人所 欣赏 ” 问题改述 现 已知一椭 圆两焦点 F 、 F ， 过 椭 圆上 点 B 作 切 线 T 丁 ， 求 证 ： F z B T 一 F B丁2 证明 如图 4所示， 作点 F ：与点 F 关于 直线 T T 2对称 ， 同切线 丁 T 。 交 于点 B 的线段 F 为 点 F 与 点 间 的 最 短 距 离 在 切 线 T l 上再任选异于点 B 的一点 B 。 ， 有 l F B z 1 + l B F I I F F l ， 又点 F 、 F 的两点间的最短 的并且与切线相交 的路线是 由过 切点 B 的二焦 半径组成的( 因为切线上其他点都在椭圆外 ， 从而 从 两焦 点 到这样 一点 的距 离之 和必 大 于从两 焦 点 到点 B的距离之和) ， 所 以点 B同点 B 重合 又 因为线 段 B 与 线 段 F B 关 于 直 线 T T z对 称， 故 B 丁 一 F B T ， 而由对顶角相等知 F ： B T 一 F B T ，所 以 F 2 B- T 一 F B T ， 由于点 B同点 B 重合 ， 则 F z BT 一 F B丁 ， 得 证 图 3 图 4 评价尽管 1 9世纪将几何问题代数化的思 路及一般方法已经深入人心， 但 2 O世纪的希尔伯 特 在此 问题 上关 注 的依 旧是不 同量 之 间 的直 观 关 系， 而并没有将几何问题代数化 在这种证 明方法 中， 通过图形直观地将焦点 F 、 F 。 与切点 B的关 系构 造 出来 ， 使 得 问题 更 易 于解决 ， 这也 是 我们 把 这种证法称之为“ 直观证法” 的原因 当然 ， 直观地 找到这三点间的关系是有一定难度 的， 自然是需 要经 过一 定思 维训 练才 可 以达到 的 2 3解 析证 法 解析证法源于解析几何学 作为解析 几何学 的创始人， 欧洲文艺复兴时期的笛卡尔与费马， 通 过建立直角坐标系， 使得几何问题代数化 ， 让人们 在 解决 几何 问题 时 ， 无 需 如 以 往那 样 只能 依 靠 精 密的推导证明或巧妙的构思 由于其证 明方法 的 普遍性， 所以其证 明基本上 只需要遵循一种机械 化 的法则 l 4 在 平 面直角 坐标 系下 ， 以往 大家 感 到 无从下手的几何 问题 ， 如今 只需要进行简单的分 析 处理 ， 即可 得 到所求 ， 方 便至 极 问题改述 先建立平面直角坐标 系， 以焦点 F 、 F 的中点 O为原 点 ， 焦 点 F 、 F 。所 在直 线 为 轴( 定义 F 指向 F 。为正方 向) ， 将 轴绕原点 一 一 2 2 0逆时针旋转詈得到y 轴 设椭圆方程 +告一 厶 “ 1 ， 左焦点 F ( 一C ， 0 ) ， 右焦点 F ( c ， 0 ) ， 取椭圆上 任意一点 P( a c o s O ， b s i n O ) ， 其 中 E o ， 2 n ) ， MN 为过 P 点 的切 线 证 明 NP F 一 MPF 。 证 明 ( 1 ) 若 点 P 与 点 A 或 者 点 B 重 合 ( A 和 B 为 椭 圆与 X轴 的两 交 点) ， 则 NPF 一 M P F 2 一 号 ， 得 证 一 A D 图 5 ( 2 ) 若 点 P 不 与点 A 或 者 点 B 重 合 ， 对 椭 圆 方程求导， 得 ： d y 一 _一 b 2 x ，进而知椭圆上点 P处 的 斜 率 为 I 一 一 蓑 一 一 鲁 c 。 t ， 则 过 点 P 的切线 为 一 s i n 一 c 。 t O ( X-a C O S ) ， 切 线 z 2 0 1 2年 第 5 l卷 第 1 O期 数 学通 报 3 7 斜 率 忌 一一 c 。 t 又 忌 一1 2 CO， 口 S 广 C 忌 一 盟 ，其 中 a 2 一b z 一 z ， 故 ： 走 P F 2 a COS 0- - c 具 甲一 驭 ： t a n NPF 1 一 一 a b +b c C O s O C 。 s i n 0 c o sO a c s i n O t a n M PF2 - 一 ， 验证 得 t a n NPF 】 一t a n MPF 2 ， 得证 评 价先 把 椭 圆放 到适 当 的平 面直角 坐 标 系 中 ， 则椭 圆与直 线 都 在 平 面 直 角 坐 标 系 下 有 了 其 2 2 相应的代数形式 +寺一1及 Yb s i n 0 一 L ， 厶 一 c o t ( z n c o s ) ， 再 解 决 此 问 题 就 显 得 思 路 “ 简 洁清 晰 ： 分 别 求 出三 条 斜 率 ， 再 算 出所 求 夹 角 ， 验证 相 等 即可 3对 中学 几何 证 明的思 考 经 典 证 法 会 涉 及 太 多 几 何 性 质 、 命 题 ， 且 证 明、 推理过程具有 隐蔽性 、 复 杂性 ， 导致 问题的解 决显 得 繁难 生 涩 ， 这 样 的 解 题 方 法 对 于 大 多 数 学 生而 言过 于 苛 刻 ， 会 让 学 生 对 于 数 学产 生 厌 学情 绪 新课改后要求降低几何证 明的难度 ， 也就是出 于此 类 目的 教 师在几 何 问题 的教 学 中 ， 应 该 适 当 降低学生对此类证明的要求 但不得不指出的是 ， 该方法对学生“ 推理能力” 的培养大有裨益 ， 这一 点是 毋庸 置疑 的 直观证法则显得直观许多 新修订的 数学课 程 标 准 中提 出 的核 心 概 念 中就 有 “ 几 何 直 观 ” 一 词 ， 其 中着重指出几何直观 可以帮助学生直观地 理解数学 ， 在整个数学学 习过程 中都发挥着重要 作用 教师在平时的教学活动中， 更应该加大此块 学习的教学力度 ， 培养学生的几何直观能力 ， 进而 促进学生空间想象能力 的提高 ， 以此达到学生空 间与图形能力 全面提高 的 目的 但对 于不 同认知 水 平 的学 生而 言 ， 所谓 的 “ 直观 ” ， 有 时 又并 非 真 的 那 么直 观 ， 此 时这类 “ 直 观证 法 ” 就会 同 圆锥 曲线 论 中的证 明思想 具有相 同 的症结 ： 太 过强调逻 辑 ， 乃 至让 许 多学 生 死 记硬 背 ， 甚 至 反 感 数 学 ， 不 但无法发展他们的几何思维 ， 反倒成为一大束缚 解 析证 法 对 于绝 大多 数 学 生 而 言 ， 可 以 由 已 知前提、 条件 ， 结合问题进行综合分析得到解题思 路 ， 清晰明了， 易于操作 值得一提的是， “ 空间观 念” 在中学数学教学 中， 对于“ 数形结合思想” 的培 养起着重要作用 “ 空 间” ， 既指三维立体空 间， 又 指二维平面空间 解析证法 即是在对应的笛卡儿 坐标系下讨论几何 问题 ， 将空间 中的点对偶 为有 序数对 ， 将 几何 问题 转 化为代 数 问题 教 师在 教学 过 程 中 ， 亦 将视 此 类 思 想 证 明方 法 为 重 点 、 难 点 在此 ， 需要 我 们关 注 的一 个 问题 是 此 种 证 明方 法 可以对应绝大多数题型， 以不变应万变， 但是否会 减弱了学生们推理能力及构造能力的培养?史宁 中教授认为符号表达缺少物理背景 ， 缺少直观 ， 也 是 出于 此种 担心 三种几何证明思想依次更加强调“ 推理能力” “ 几何直观” “ 空间观念” 三种 中学生必备的数学能 力 教师大可对学生进行三种解法及其思想 比较 讲解 ， 以此使三种几何证 明思想方法互 为补充， 扬 长 避短 使 学 生们 既 能 多 题 一 解 ， 又 会 一 题 多 解 相信如果我们 的老师能将一道几何题 的讲解 ， 从 逻 辑推 理 、 直观 证 明 、 代 数化 三个 方面 有机 地 呈现 在我们的学生们面前 ， 将会更好地 使他们加深对 数学的理解 ， 体会到数学 的奥妙 ， 提高学习数学 的 兴 趣 参考文献 1 M Kl e i n著 ， 张理京等译 古今数 学思想 ( 第 一册) M3 上 海 ： 上海科学技术 出版社 ， 2 0 0 7 ， 2 ： 1 0 1 1 0 2 2 A