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3.3.3 导数的实际应用,引入:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、 效率最高等问题,这些问题通常称为最优化问题,例如:圆柱形饮料罐的容积一定,如何确定其高与底半径,才能使它的用料最省?,1.理解导数在解决实际问题中的作用. (重点) 2.能利用导数知识解决实际中的最优化问题. (难点) 3.将实际问题转化为数学问题,建立函数模型. (难点),探究点1: 导数在几何问题中的应用,a-2x,例1.有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?,x,分析:,设截下的小正方形边长为x,容器容积为V(x),解:,a-2x,x,(舍去).,圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?,分析:,【变式练习】,解:,设圆柱的高为h,底半径为R,,由V=R2h,得,则表面积 S=2Rh+2R2,答:当饮料罐的高与底直径相等时,所用材料最省.,应用题解题的一般思路:,数学问题,实际问题,数学问题的结论,实际问题的结论,数 学 解 答,数学化,检验,回到实际问题,问 题 解 决,探究点2:导数在经济问题中的应用,例2 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8r2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm. 求瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? 瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最小?,分析:,利润等于收入减去支出.,答:瓶子的半径为 6cm时,能使每瓶饮料的利润最大; 瓶子的半径为 2cm时,能使每瓶饮料的利润最小.,解:,极小值,(舍去).,某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;房间的单价每增加 10元,就会有一个房间空闲如果游客居住房间,宾馆每天每间需花费20元的各种维修费房间定价多少时,宾馆的利润最大?,分析:,利润等于收入减去支出.,【变式练习】,解:,答:房间定价350元时,宾馆的利润最大.,极大值,设矩形的长为x,面积为S(x),解:,x,1.用长为l 的铁丝围成一个矩形,求矩形的最大面积.,2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽度和高度应是多少?,解:如图,设断面的宽为x,高为h,则 h2=d2x2, 横梁的强度函数 f(x)=kxh2(k为强度系数, k0),,所以f(x)=kx(d2x2),0xd,,令f (x)=k(d23x2)=0,,(舍去).,1.最优化问题.,2.应用题解题的一般思路:,数学问题,实际问题,数学问题的结论,实际问题的结论,数 学 解 答,数学化,检
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