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文档简介

专题突破六构造函数法在导数中的应用所谓“构造函数”即从无到有,即在解题的过程中,根据题目的条件和结构特征,不失时机地“构造”出一个具体函数,对学生的思维能力要求较高,难度较大,一般都作为小题或解答题的压轴部分一、作差法构造例1设函数f(x)lnx,g(x)ax,它们的图像在x轴上的公共点处有公切线求证:当x1时,f(x)1知,h(x)0,所以h(x)在(1,)上是减函数,即h(x)h(1)0,f(x)g(x)点评证明不等式或证明不等式恒成立问题都可以利用作差法,将不等式右边转化为0,然后构造新函数F(x),最后根据新函数F(x)的单调性转化为F(x)min0或F(x)max0来解决跟踪训练1当x(0,)时,证明:lnx1.考点题点证明设g(x)lnx1,则g(x).当0x1时,g(x)1时,g(x)0.所以x1是g(x)的极小值点,也是最小值点故当x0时,g(x)g(1)0.因此,当x(0,)时,lnx1.二、分离参数法构造例2若对任意的xe,),都有xlnxaxa,求实数a的取值范围考点题点解对于任意的xe,),都有xlnxaxa,等价于a在e,)上恒成立,令h(x),h(x),xe,),当xe时,(xlnx1)10,即m(x)xlnx1在e,)上是增加的,故m(x)m(e)e20,h(x)0,所以h(x)在e,)上是增加的,h(x)minh(e),所以a,即实数a的取值范围是.点评恒成立问题中,求参数范围的问题,常常分离参数,转化为aF(x)min或aF(x)max.其中F(x)为构造的新函数跟踪训练2(2018玉溪模拟)已知函数f(x)extx(e为自然对数的底数)若对于任意的x(0,2,不等式f(x)0恒成立,则实数t的取值范围为_考点题点答案(e,)解析依题意得extx0在(0,2上恒成立,即对任意的x(0,2,t恒成立令g(x),g(x).当0x0;当1x2时,g(x)f(x),则当a0时,f(a)与eaf(0)的大小关系为()Af(a)eaf(0)Cf(a)eaf(0) D不能确定考点题点答案B解析令F(x),则F(x)0,从而F(x)在R上是增加的,于是当a0时,F(a)F(0)f(0),即f(a)eaf(0)点评常依据(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)和来构造函数如熟悉下列结论可达到事半功倍的效果如:(1)对于f(x)f(x)0构造h(x)exf(x);(2)对于f(x)f(x)0构造h(x);(3)对于xf(x)f(x)0构造h(x)xf(x);(4)对于xf(x)f(x)0构造h(x).跟踪训练3设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x0时,xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_考点题点答案(1,0)(0,1)解析令F(x),因为f(x)为奇函数,所以F(x)为偶函数又F(x),且当x0时,xf(x)f(x)0的x的取值范围是(1,0)(0,1)四、条件转化后的形式的构造例4设函数f(x)lnx,mR,若对任意ba0,a0,1恒成立等价于f(b)b0),h(x)在(0,)上是减少的,h(x)10在(0,)上恒成立,mx2x2(x0),则m,m的取值范围是.点评运用下列形式的等价变形构造:分式形式a)f(b)f(a)k(ba)跟踪训练4已知函数f(x)(a1)lnxax21,设a2.证明:对任意x1,x2(0,),|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.考点题点证明不妨假设x1x2,由于a2,f(x)2ax0在(0,)上恒成立,则k的取值范围是()A.B.C.D.考点题点答案D解析由f(x)0在(0,)上恒成立,即k.令g(x),g(x),当x时,g(x)0,g(x)是增加的,当x时,g(x).2若,且sinsin0,则下列结论正确的是()AB22C0考点题点答案B解析令f(x)xsinx,f(x)sinxxcosx,当x时,f(x)0,f(x)是增加的,当x时,f(x)sin,f()f(),又f(x)为偶函数,|,故22.3已知f(x)是定义在(0,)上的函数,f(x)是f(x)的导函数,且总有f(x)xf(x),则不等式f(x)xf(1)的解集为()A(,0) B(0,)C(0,1) D(1,)考点题点答案C解析设g(x)(x0),则g(x).f(x)xf(x),g(x)xf(1)g(x)g(1),f(x)xf(1)的解集为(0,1)4已知函数f(x)的图像关于y轴对称,且当x(,0)时,f(x)xf(x)acBcabCcbaDabc考点题点答案A解析设F(x)xf(x),则F(x)f(x)xf(x),因为x0时,f(x)xf(x)0,所以F(x)0,则当x0时,F(x)是减函数,又120.22,0log3ac.5已知函数f(x)alnxx2(x0),若对任意两个不相等的正实数x1,x2都有2恒成立,则a的取值范围是_考点题点答案1,)解析由2知,函数f(x)的图像上任何一点处的切线斜率都大于或等于2,故f(x)2.且f(x)x(x0),由x2,有ax(2x),记g(x)x(2x)(x0),则ag(x)在(0,)上恒成立,所以ag(x)max(x0)而g(x)x(2x)(x1)21,当x1时,g(x)有最大值1.故a1.6已知f(x)(x0)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)比较20162017与20172016的大小并说明理由考点题点解(1)f(x),当x(0,e)时,f(x)0,f(x)是增加的,当x(e,)时,f(x)f(2017),即,即2017ln20162016ln2017,即ln20162017ln20172016,又ylnx在(0,)上是增加的,所以2016201720172016.7已知函数f(x)x22alnx(a2)x.(1)当a1时,求函数f(x)在1,e上的最小值和最大值;(2)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,),且x1x2,都有a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由解(1)当a1时,f(x)x22lnxx.则f(x)x1,x1,e当x1,2)时,f(x)0.f(x)在1,2)上是减函数,在(2,e上是增函数当x2时,f(x)取得最小值,其最小值为f(2)2ln2.又f(1),f(e)e2,f(e)f(

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