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等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【名师点睛】几何图形中添加辅助线,往往能把分散的条件集中,使隐蔽的条件显露,将复杂的问题简单化,例如:“作三线”中的“一线”,作平行线构造等腰(边)三角形,利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数,利用加倍折半法证线段的倍分关系。方法1作“三线”中的“一线”1.如图,ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过A点的直线EFBC,且AE=AF,求证:DE=DF.解答:证明:如图,连接AD.ABC中,AB=AC,D是BC的中点,ADBC,EFBC,ADEF,又AE=AF,AD垂直平分EF,DE=DF.方法2作平行线法2.如图,在ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D(1)如图,当点P为AB的中点时,求证:PD=QD;(2)如图,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.解答:(1)过P点作PFAC交BC于F.点P和点Q同时出发,且速度相同,BP=CQ.PFAQ,PFB=ACB,DPF=DQC.AB=AC,B=ACB,B=PFB,BP=PF,PF=CQ.PDF=QDC,PF=CQ,DPF=DQC,PFDQCD,PD=QD.(2)ED的长度保持不变.理由如下:由(1)知PB=PF.PEBF,BE=EF.由(1)知PFDQCD,FD=DC,ED=EF+FD=BE+DC=BC,ED为定值.方法3截长补短法3.已知:如图,在ABC中,AB=AC,D是ABC外一点,且ABD=60,ACD=60求证:BD+DC=AB.解答:证明:延长BD到F,使BF=BA,连接AF,CF,ABD=60度,ABF为等边三角形,AF=AB=AC=BF,AFB=60,ACF=AFC,又ACD=60,AFB=ACD=60DFC=DCF,DC=DF.BD+DC=BD+DF=BF=AB,即BD+DC=AB.4.如图,在ABC中,BAC=120,ADBC于D,且AB+BD=DC,求C.解答:在DC上截取DE=BD,连接AE,如图所示,ADBC,ADB=ADE=90,在ABD和AED中,AD=AD,ADB=ADE,DB=DE,ABDAED(SAS),AB=AE,B=AEB,又AB+BD=CD,DE=BD,AB+DE=CD,而CD=DE+EC,AB=EC,AE=EC,故设EAC=C=x,AEB为AEC的外角,AEB=EAC+C=2x,B=2x,BAE=1802x2x=1804x,BAC=120,BAE+EAC=120,即1804x+x=120,解得:x=20,则C=20.方法4加倍折半法5.如图,CE.CB分别是ABC与ADC的中线,且ACB=ABC.求证:CD=2CE.解答:证明:过B作BFAC交CE的延长线于F,CE是中线,BFAC,AE=BE,A=ABF,ACE=F,在ACE和BFE中,A=ABF,ACE=F,AE=BE,ACEBFE(AAS),CE=EF,AC=BF,CF=2CE,又ACB=ABC,CB是ADC的中线,AC=AB=BD=BF,DBC=A+AC
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