《测量平差yjzhang》PPT课件.ppt

一、条件平差原理 二、条件方程的列立 三、非线性条件方程的线性化 四、精度评定,第五章 条件平差,基本概念 1、必要观测数 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最少观测数。 2、多余观测数 实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测数。 3、闭合差 举例说明：测角网，水准网 4、条件平差及其目的,一、条件平差原理 1、条件方程 （1） （1）式中A的秩是r，未知数的个数是n，由于rn，所以（1）式是不定方程。那么，如何求解不定方程（1）式呢？ 2、法方程及其组成 2.1 按拉格朗日条件极值法组成新函数 （2）,2.2 求偏导 （3） 2.3 法方程 （4） 改正数方程 （5） 举例 水准网如右图：观测值及其权阵如下： m ， 求各高差平差值,误差方程 法方程 法方程的解,按（5）求改正数V： 求观测值的平差值： 检核：,条件平差的求解步骤 （1）根据具体问题列条件方程（1）式； （2）组成法方程（4）式； （3）解法方程； （4）按（5）式求改正数V； （5）求观测值的平差值 ； （6）检核。,教材：51， 52， 53,习题：5.1.04， 5.1.07,二、条件方程的列立 列条件方程的原则:1、足数；2、独立；3、最简 水准网的条件方程 1、水准网的分类及水准网的基准 有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。 2、水准网中必要观测数t的确定（保证足数） 有已知点： t 等于待定点的个数 无已知点： t 等于总点数减一 3、水准网中条件方程的分类 附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件,4、水准网中条件方程的列立方法（保证独立） （1）、先列附合条件，再列闭合条件 （2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一 （3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网中有多少个小环，就列多少个闭合条件,在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程， 一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。,5、水准网条件方程列立举例,14,习题：5.2.10,GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程 1、GPS基线向量网的观测值： 一条基线三个观测值，他们是 ,观测值总数n=3s，s是基线数。 2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t 三个坐标基准 。必要观测数为 t=3(m-1)，m 为总点数。所以条件方程的个数为：r = 3(s-m) + 3 3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立 按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最简的原则。,4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例 图1 图2 图1中r =3（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下： 图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。,4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例 n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3= 42（多GH、DE),三角网(测角网)的条件方程 1、三角网的观测值 三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。 2、三角网的作用 确定待定点的平面坐标。 3、三角网的类型 单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形 4、三角网的基准数据 在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ）以及长度基准 1个（任意一条边的边长 ）。这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。,5、三角网中必要观测数 t 的确定 有足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数； 无足够的基准数据：t =2（z - 2）, z为三角网中的总点数。 6、三角网中条件方程的类型 图形条件（内角和条件）：三角形三内角和等于180度； 圆周条件（水平条件）：圆周角等于360度； 极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一边的边长相等。,教材：54，55,习题：5.2.11， 5.2.12,7、三角网中条件方程的列立举例 图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件。 图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件（极点）。,图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。 由以上三例知，三 角形只有图形条件；大 地四边形有图形条件和 极条件两类条件；只有 中点多边形才有全部的 三类条件。,用一般符号列出图4的条件方程：n=33 t=14,三边网(测边网)的条件方程 1、三边网的观测值 三边网的观测值也很简单，全部是边长观测值。 2、三边网的作用 也是确定待定点的平面坐标。 3、三边网的类型 单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形 4、三边网的基准数据 三边网与三角网的区别是观测值。由于在三边测量中，观测值中带有长度基准。所以，三边测量中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ），即三个基准。,5、三边网中必要观测数 t 的确定 有足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数； 无足够的基准数据：t =2z - 3, z为三角网中的总点数。 单三角形（无足够）： t =2 3 3=3，而n=3，故r=n-t=3-3=0 大地四边形（无足够）：t =2 4 3=5，而n=6，故r=n-t=6-5=1 中点N边形（无足够） ： t =2（N+1） 3=2N-1，而n=2N，故r=n-t=2N-2N+1=1。 以上各式表明：在测边网中，无足够情况下，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只一个条件。故无足够情况下，测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。 6、三边网中条件方程的列立 可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列立。 按角度闭合：,测边网条件 在测边网中，按角度闭合时条件方程为： 对于以上按角度表示的条件方程，可以用余弦定理解出各个角度，再按台劳级数展开可到其线性形式。但习惯上却是先导出角度改正数与边长改正数的关系，然后代入 为此，下面来推导角度改正数与边长改正数的关系。,如图，由余弦定理知： 微分得： 由图知,故有： 将微分换成改正数，并将弧度换 成角度，得： 上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律： 任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的高，并乘以常数 。 按此规律，可得：,大地四边形 将其代入 ，得,中点多边形 将其代入 ，得,注意：在计算图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的单位为cm，高的单位为km， 取2.0626，此时闭合差w的单位为秒。由观测边长计算系数中的角值，可按余弦定理或下式计算 式中 高按下式计算,三、非线性条件方程的线性化 1、问题的提出 由前面列出的条件方程知，水准网平差、三维无约束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。而极条件、坐标条件等都是非线性条件。因为条件平差中要求条件方程必须为线性形式，所以，平差前必须将非线性条件转化为线性条件。这一转化工作称为非线性条件方程的线性化。 2、线性化方法 将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上各项，即得条件方程的线性形式。,不妨设非线性条件方程为： 为了将其按台劳级数展开，将观测值的平差值写为观测值加改正数的形式，即： 于是，有 令,于是，非线性条件方程 的线性形式为： 3、几种非线性条件方程的线性形式 极条件： 在图5-4中，（边长条件）极条件为 线性化得：,两边同乘 ，得化简后的线性形式为：,四、精度评定 目的：评定观测值的实际精度、观测值平差值函数的精度 1、观测值L的精度 2、单位权方差的估值 3、 的计算 （1）、直接计算 （2）、用常数项与联系数,4、观测值函数的协因数 事实上，条件平差中的基本向量W、K、V、 都是观测向量L的函数，且 由于观测向量L的协因数 已知，所以应用协因数传播律可得：,令 则,5、平差值函数的协因数 经条件平差后得到了观测值的平差值，但是，需要提交的却是控制点的坐标或高程的平差值，他们都是观测值的平差值的函数。因此，有必要研究平差值的函数的协因数的计算。 设平差值函数为： 对其全微分，得：,式中 为用观测值L算出的偏导数值。 于是，应用协方差传播律可得： 所以，平差值的函数的中误差为：,教材：58，57,习题：,举例 某平坦地区水准网如右图所示，已知点A高程为10.000m， 各独立观测值及其距离： m km 求各点高程的平差值，单位权中误差及A至C点间高差平差值的中误差。,条件方程 法方程 法方程的解,按（5）求改