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第二章 平面向量 单元复习,知识结构,实际背景,基本定理,坐标表示,数量积,线性运算,向量的概念 及其几何运算,知识梳理,1.向量的有关概念,(8)向量的数量积:,(5)相等向量:,长度相等且方向相同的向量.,(6)相反向量:,长度相等且方向相反的向量.,(7)平行向量(共线向量):,方向相同或相反的非零向量.,ab=|a|b|cos.,三角形法则:,2.向量的几何运算,(1)加法运算:,平行四边形法则:,(2)减法运算:,三角形法则:,平行四边形法则:,(3)数乘运算:,3.向量定理,(1)共线定理:,(2)基本定理:,向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使b=a.,若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,则对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使 a1e12e2.,范例分析,例1 在ABC中,设 a, b, 已知 , ,试以a、b 为基底表示向量 .,例2 在ABC中,已知点O满足: ,求证:点O是ABC的重心.,例3 在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,点N在BD上,且BD=3BN,试推断点M、N、C是否共线?并说明理由.,例4 在RtABC中,已知斜边BC=2,线段PQ以A为中点,且PQ=4,向量 与 的夹角为60,求 .,向量的字符运算,知识梳理,1.向量加法的运算性质,(1)ab=ba; (2)(ab)ca(bc); (3)若a与b为相反向量,则ab0; (4)若bca,则cab; (5)|ab|a|b|,|ab|a|b|; (6),2.向量数乘的运算性质,(1) (a)=() a ; (2) () a =a a; (3) (ab)=ab;,3.数量积的运算性质,(1)abba; (2)(a)b(ab)a(b); (3)(ab)cacbc; (4)ab ab0; (5)a2|a|2; (6)|ab|a|b|;,范例分析,例1 已知向量a、b满足:|a|=4,且a(ab)=12,求向量b在a方向上的投影.,1,例2 已知非零向量a、b满足: (ab)b,且(a2b)(a2b),求向量a与b的夹角.,60,例3 已知向量a、b、c两两之间的夹角为120,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量abc与a的夹角.,150,例4 设向量a、b不共线,已知 2akb, ab, a2b,且A、B、D三点共线,求实数k的值.,k=1,向量的坐标运算,知识梳理,1.向量的坐标表示,(1)设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,若axiyj,则a(x,y);,(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2),则 (x2x1,y2y1).,2.向量的坐标运算,范例分析,例1设向量a(1,3),b(2,4),c(1,2),若表示向量4a,4b2c,2(ac),d 的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量d 的坐标.,d(2,6),例2 已知向量 (3,1), (1,2),且 , ,求向量 的坐标.,(11,6),例3 已知向量a(2,3),b(4, 3),求向量a在b方向上的投影.,例4 设向量a与b的夹角为,已知 ab(2,8),ab
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