《线性代数matla》PPT课件.ppt

第1章 矩阵与行列式,【矩阵与行列式简介】 在计算机日益发展的今天，线性代数起着越来越重要的作用。线性代数起源于解线性方程组的问题，而利用矩阵来求解线性方程组的Gauss消元法至今仍是十分有效的计算机求解线性方程组的方法。矩阵是数学研究和应用的一个重要工具，利用矩阵的运算及初等变换可以解决求解线性方程组等问题。特殊的矩阵方阵的数字特征之一是方阵的行列式，使用行列式可以描述方阵的一些重要的性质。通过计算行列式可求逆矩阵，n个,第1章 矩阵与行列式,未知量n个方程的线性方程组的惟一解等问题。向量也是研究矩阵的有力工具，可通过向量组的秩来定义矩阵的秩。向量与矩阵、行列式都是线性代数的重要基本概念，它们是建立线性方程组的解的构造理论与系统求解方法的三个基本工具。,第1章 矩阵与行列式,验证性实验 实验一 矩阵的运算 【实验目的】 1理解矩阵、逆矩阵的概念 2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、逆、方阵的幂的运算 【实验要求】理解矩阵赋值命令、符号变量说明syms、加法+、乘法*、转置、逆矩阵inv、方阵的幂等命令,第1章 矩阵与行列式,【实验内容】 1已知下列矩阵： （1） ， ； （2） ， 计算 ， ， ， ， ， ， ,第1章 矩阵与行列式,【实验过程】 1（1） A=3 1 1;2 1 2;1 2 3; B=1 1 -1;2 -1 0;1 0 1; C=A+B 运行结果： C = 4 2 0 4 0 2 2 2 4,第1章 矩阵与行列式, AB=A*B 运行结果： AB = 6 2 -2 6 1 0 8 -1 2 D=6*A 运行结果： D = 18 6 6 12 6 12 6 12 18,第1章 矩阵与行列式, sym c; cA=c*A 运行结果： cA = 3*c, c, c 2*c, c, 2*c c, 2*c, 3*c F=A 运行结果： F = 3 2 1 1 1 2 1 2 3,第1章 矩阵与行列式, G=inv(A) 运行结果： G = 1/4 1/4 -1/4 1 -2 1 -3/4 5/4 -1/4 H=A5 运行结果： H = 1492 1006 1460 1558 1069 1558 1914 1331 1946,第1章 矩阵与行列式,（2） A=sym(a b;c d); B=sym(1 a;1 b); C=A+B 运行结果： C = a+1, b+a c+1, d+b AB=A*B 运行结果： AB = b+a, a2+b2 c+d, c*a+d*b,第1章 矩阵与行列式, D=6*A 运行结果： D = 6*a, 6*b 6*c, 6*d syms c; cA=c*A 运行结果： cA = c*a, c*b c2, c*d,第1章 矩阵与行列式, F=A 运行结果： F = conj(a), conj(c) conj(b), conj(d) % conj为复数共轭即 G=inv(A) 运行结果： G = d/(a*d-c*b), -b/(a*d-c*b) -c/(a*d-c*b), a/(a*d-c*b) 即 ,第1章 矩阵与行列式,实验二 矩阵的初等变换 【实验目的】 1理解矩阵初等变换的概念 2掌握矩阵的初等变换及用初等变换求矩阵的逆矩阵 【实验要求】掌握矩阵的表示、符号变量说明syms、逆矩阵inv等命令,【实验内容】 1已知矩阵 ，求对矩阵实施如下的 初等变换后所得矩阵。 矩阵的第2行乘以m； 矩阵的第3列的n倍加到第1列上去； 矩阵的第1行与第2行交换。 1） syms m; A=sym(a b c d;e f g h;i j k l); A(2,:)=m*A(2,:),第1章 矩阵与行列式,第1章 矩阵与行列式,运行结果： A = a, b, c, d m*e, m*f, m*g, m*h i, j, k, l 2） syms n; A=sym(a b c d;e f g h;i j k l); A(:,1)=A(:,1)+n*A(:,3) 运行结果： A = a+n*c, b, c, d e+n*g, f, g, h i+n*k, j, k, l,第1章 矩阵与行列式,3） A=sym(a b c d;e f g h;i j k l); A(2,1,:)=A(1,2,:) 运行结果： A = e, f, g, h a, b, c, d i, j, k, l,第1章 矩阵与行列式,2已知矩阵 ，提取矩阵的第2、3、4行与 第3、4列的元素构成矩阵B A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16; B=A(2:4,3:4) 运行结果： B = 7 8 11 12 15 16,3已知 ， ， 且 ，求 A=1 0 1;-1 1 1;2 -1 1; B=1 1; 0 1;-1 0; X=inv(A)*B 运行结果： X = 3 1 5 2 -2 0,第1章 矩阵与行列式,实验三 Gauss消元法 【实验目的】掌握解线性方程组的Gauss消元法 【实验要求】掌握矩阵赋值命令、初等变换相关命令、简化矩阵为阶梯形式rref等命令 【实验内容】 1用Gauss消元法解线性方程组： （1） ；,第1章 矩阵与行列式,【实验过程】 1（1）解法一：Gauss消元法 A=1 2 1 8;1 2 3 10;2 3 1 13;1 2 2 9 ; A(2,:)=A(2,:)-A(1,:); A(3,:)=A(3,:)-2*A(1,:); A(4,:)=A(4,:)-A(1,:) 运行结果： A = 1 2 1 8 0 0 2 2 0 -1 -1 -3 0 0 1 1 A(2,3,:)=A(3,2,:) 运行结果： A = 1 2 1 8 0 -1 -1 -3 0 0 2 2 0 0 1 1,第1章 矩阵与行列式,A(2,:)=(-1)*A(2,:); A(3,:)=1/2*A(3,:) 运行结果： A = 1 2 1 8 0 1 1 3 0 0 1 1 0 0 1 1 A(4,:)=A(4,:)-A(3,:); A(1,:)=A(1,:)-A(3,:); A(2,:)=A(2,:)-A(3,:) 运行结果： A = 1 2 0 7 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0,第1章 矩阵与行列式,A(1,:)=A(1,:)-2*A(2,:) 运行结果： A = 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 由上可知，方程组有惟一解 解法二： A=1 2 1 8;1 2 3 10;2 3 1 13;1 2 2 9; A=rref(A) 运行结果： A = 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 由上可知，结果同解法一。,第1章 矩阵与行列式,实验四 行列式及应用 【实验目的】 1. 了解行列式的概念，掌握行列式的性质 2掌握行列式的计算方法 3掌握Gramer法则求解线性方程组 【实验要求】掌握计算行列式det、解线性方程组solve、生成Vandermonde行列式vander等命令 【实验内容】 1计算下列行列式的值： （1） ；（2） ；,第1章 矩阵与行列式,第1章 矩阵与行列式,（1） A=-2 5 -1 3;1 -9 13 7;3 -1 5 -5;2 8 -7 -10; det(A) 运行结果： ans = 312 （2） A=sym(a b b b b;b a b b b;b b a b b;b b b a b;b b b b a); det(A) 运行结果： ans = a5-10*a3*b2+20*a2*b3-15*a*b4+4*b5 即行列式的值为 ,2用Gramer法则解线性方程组 A=2 1 -5 1;1 4 -7 6;1 -3 0 -6;0 2 -1 2; A1=8 1 -5 1;0 4 -7 6;9 -3 0 -6;-5 2 -1 2; A2=2 8 -5 1;1 0 -7 6;1 9 0 -6;0 -5 -1 2; A3=2 1 8 1;1 4 0 6;1 -3 9 -6;0 2 -5 2; A4=2 1 -5 8;1 4 -7 0;1 -3 0 9;0 2 -1 -5; a=det(A); a1=det(A1);a2=det(A2);a3=det(A3);a4=det(A4); X=a1/a,a2/a,a3/a,a4/a 运行结果： X = 3 -4 -1 1 即得方程组的解为 ， ， ， ,第1章 矩阵与行列式,实验五 向量 【实验目的】 理解向量、向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关的概念 掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念 会求向量组的极大线性无关组和秩 5掌握矩阵秩的求法 【实验要求】掌握简化矩阵为阶梯形式rref、计算行列式det、计算矩阵的秩rank等命令 【实验内容】 设向量： ， ， ， ，问b能否 由 线性表示？,第1章 矩阵与行列式,第1章 矩阵与行列式, A=-1 3 1;0 4 4;1 -2 0;2 5 9; b=5;4;-4;1; B=A,b; r=rank(A),rank(B) 运行结果： r = 1 2 由上可知 ，故方程组有解。,2求向量 在基 ， ， 下的坐标 . 即求满足方程 的解。 A1=1;1;0; A2=1;0;1; A3=0;1;1; A=A1,A2,A3; b=3;-5;9; X=inv(A)*b 输出 X = -5.5000 8.5000 0.5000,第1章 矩阵与行列式,第2章 线性方程组,【线性方程组简介】 线性方程组的求解问题促进了线性代数的产生和发展，利用矩阵、行列式和向量这三个基本工具可较好的解决线性方程组的求解问题。利用解向量所构成的基础解系可方便的描述解空间的基本特征及写出通解，从而较好地描述了线性方程组解的结构问题。,第2章 线性方程组,验证性实验 实验一 线性方程组 【实验目的】 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念 掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法 3理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 【实验要求】掌握分数数据格式format rat、求基础解系null、简化矩阵为阶梯形式rref、解方程组solve等命令,第2章 线性方程组,【实验内容】 1.求齐次线性方程组 的基础解系及通解。,第2章 线性方程组,【实验过程】 1解法一： format rat A=1 1 1 1;1 3 2 4;2 0 1 -1 ; B=rref(A) 运行结果： B = 1 0 1/2 -1/2 0 1 1/2 3/2 0 0 0 0,第2章 线性方程组,由上可知，方程组有解 ， 其中 ， 是自由未知量。 故得方程组的基础解系为 ， 通解为 ，其中 为任意常数。,第2章 线性方程组,解法二： format rat A=1 1 1 1;1 3 2 4;2 0 1 -1 ; B=null(A,r) 运行结果： B = -1/2 1/2 -1/2 -3/2 1 0 0 1 syms k1 k2 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2),第2章 线性方程组,运行结果： X = -1/2*k1+1/2*k2 -1/2*k1-3/2*k2 k1 k2 即原方程组的通解为 ，其中 为任意常数。,第2章 线性方程组,2.求方程组 的基础解系及通解。 3求方程组 的基础解系及通解。,第2章 线性方程组,2解法一：A=1 1 1;-10 12 1;1 -9 12; b=66;77;99; r=rank(A),rank(A,b) 运行结果： r = 3 3 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩3，且等于未知量的个数，故原方程组有惟一解。 X=inv(A)*b % X=Ab 运行结果： X = 21 22 23,第2章 线性方程组,解法二： syms x1 x2 x3; f1=x1+x2+x3-66; f2=-10*x1+12*x2+x3-77; f3=x1-9*x2+12*x3-99; x1 x2 x3=solve(f1,f2,f3,x1,x2,x3) 运行结果： x1 = 21 x2 = 22 x3 = 23,第2章 线性方程组,3解法一：A=1 1 -2 1 3;2 -1 2 2 6;3 2 -4 -3 -9; b=1;2;3; rA=rank(A) 运行结果： rA = 3 rAb=rank(A,b) 运行结果： rAb = 3 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩3，故原方程组有解。,第2章 线性方程组, x0=Ab 运行结果： x0 = 1 0 0 0 0 即原线性方程组的一个特解 ,第2章 线性方程组,B=rref(A) 运行结果： B = 1 0 0 0 0 0 1 -2 0 0 0 0 0 1 3 由上可知，原方程组的导出组的解为 ，即可得其导出组的基础解系为 ， 故原方程组的通解为 ，其中 为任意常数。,第2章 线性方程组,解法二： A=1 1 -2 1 3;2 -1 2 2 6;3 2 -4 -3 -9; b=1;2;3; X=Ab 运行结果： X = 1 0 0 0 0,第2章 线性方程组, B=null(A,r) 运行结果： B = 0 0 2 0 1 0 0 -3 0 1 故原方程组的通解为 ，其中 为任意常数。,【矩阵的特征值与特征向量简介】 矩阵的特征值与特征向量是矩阵的数字特征，利用矩阵的特征值与特征向量可判断矩阵的相似、解决矩阵对角化及实对称矩阵正交化等问题，促进了矩阵理论的进一步发展及应用。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,验证性实验 矩阵的特征值与特征向量 【实验目的】 理解矩阵的特征值和特征向量的概念 会求矩阵的特征值和特征向量 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 【实验要求】掌握求矩阵的特征多项式poly、求矩阵的特征值和特征向量eig、矩阵的范数norm、值空间正交化orth、单位阵eye等命令,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验内容】 1、设 ，求矩阵A的特征多项式和特征值。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,1 A=1 0 0;0 1 8;0 1 3; poly(A) 运行结果： ans = 1 -5 -1 5 即矩阵A的特征多项式为 lamda=eig(A) 运行结果： lamda = 5 -1 1 即矩阵A的特征值为 ， ， ,第3章 矩阵的特征值与特征向量,3设矩阵 ，求正交矩阵T，使得 为对角矩阵。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,3解法一： A=7 -3 -1 1;-3 7 1 -1;-1 1 7 -3;1 -1 -3 7 ; kesai,lamda=eig(A) 运行结果： kesai = -0.0000 0.7071 0.5000 -0.5000 -0.0000 0.7071 -0.5000 0.5000 0.7071 -0.0000 0.5000 0.5000 0.7071 0 -0.5000 -0.5000 lamda = 4.0000 0 0 0 0 4.0000 0 0 0 0 8.0000 0 0 0 0 12.0000 即所求正交矩阵为 ,第3章 矩阵的特征值与特征向量, kesai*A*kesai 运行结果： ans = 4 * * * * 4 * * 0 * 8 * 0 * * 12 即经验证有 norm(kesai*kesai-eye(4) 运行结果： ans = 9.7171e-016 由上可知，所求正交矩阵精度很高。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,解法二： A=7 -3 -1 1;-3 7 1 -1;-1 1 7 -3;1 -1 -3 7 ; T=orth(A) 运行结果： T = -0.5000 0.5000 -0.7071 0 0.5000 -0.5000 -0.7071 -0.0000 0.5000 0.5000 0.0000 0.7071 -0.5000 -0.5000 -0.0000 0.7071 norm(T*T-eye(4) 运行结果： ans = 7.6679e-016 由上可知，所求正交矩阵精度很高。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,实验二 矩阵的三角分解 【实验目的】 1.理解矩阵的三角分解（又称为LU分解） 2.掌握 函数的两种调用方法 【实验要求】掌握Matlab软件中有关矩阵LU分解的命令 【实验内容】 分别用两种方法调用MATLAB中的 函数，实现矩阵LU分解问题。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验方案】 矩阵的三角分解又称为LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，亦即A=LU,其中L和U矩阵可以分别写成,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验过程】 （1）求出三角分解矩阵。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,可见，这样得出的 矩阵并非下三角矩阵，这是因为再分解过程中采用了主元素交换的方法。现在考虑 函数的另一中调用方法。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,注意，这里得出的P矩阵不是一个单位矩阵，而是单位矩阵的置换矩阵。结合得出的 矩阵可以看出，P矩阵的 ，表明需要将 矩阵的第4行换到第2行， 表明需要将 的第2行换至第3行，将原来第3行换至第4行，这样就可以得出一个真正的下三角矩阵L了。将L,P,U代入并检验，可以精确地还原A矩阵。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,第3章 矩阵的特征值与特征向量,第4章 二次型,【二次型简介】 非线性问题广泛存在于各个科学技术领域，而某些非线性问题在一定的条件下可以转化为线性问题来进行研究。方法之一是通过矩阵的方法将二次型化为标准形，具体包括合同变化法和正交变换法。,第4章 二次型,验证性实验 二次型及标准形 【实验目的】 掌握二次型及其矩阵表示 了解二次型秩、二次型的标准形的概念 会用正交变换等方法化二次型为标准形 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法 【实验要求】掌握分数数据格式format rat、计算矩阵的秩rank、求矩阵的特征值和特征向量eig、单位阵eye等命令,第4章 二次型,【实验内容】 1求二次型 的矩阵和二次型的秩。 2用合同变换将二次型 化为标准形。,第4章 二次型,【实验过程】 1 format rat A=1 -3/2 -1;-3/2 2 1;-1 1 3 运行结果： A = 1 -3/2 -1 -3/2 2 1 -1 1 3 rA=rank(A) 运行结果： rA = 3,第4章 二次型,2 format rat A=0 1 1 -1;1 0 -1 1;1 -1 0 1;-1 1 1 0; E=eye(4); AE=A,E 运行结果： AE = 0 1 1 -1 1 0 0 0 1 0 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 1 0 0 1 0 -1 1 1 0 0 0 0 1 AE(1,:)=AE(1,:)+AE(2,:); AE(:,1)=AE(:,1)+AE(:,2),第4章 二次型,运行结果： AE = 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 -1 1 0 1 0 0 0 -1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 AE(2,:)=AE(2,:)-1/2*AE(1,:); AE(:,2)=AE(:,2)-1/2*AE(:,1) 运行结果: AE = 2 0 0 0 1 1 0 0 0 -1/2 -1 1 -1/2 1/2 0 0 0 -1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1,第4章 二次型, AE(3,:)=AE(3,:)-2*AE(2,:); AE(:,3)=AE(:,3)-2*AE(:,2); AE(4,:)=AE(4,:)+2*AE(2,:); AE(:,4)=AE(:,4)+2*AE(:,2) 运行结果： AE = 2 0 0 0 1 1 0 0 0 -1/2 0 0 -1/2 1/2 0 0 0 0 2 -1 1 -1 1 0 0 0 -1 2 -1 1 0 1,第4章 二次型,得 即正交变换 将原二次型化为标准形,设计性实验1 房屋装修的工资问题 【实验目的】 1理解矩阵特征值概念 2能根据实际问题，建立模型然后使用Matlab相关命令求解 【实验要求】 掌握求解特征值的eig命令、生成对角矩阵的diag命令等,【实验内容】 有三个技术个人分别是木工、电工和管道工，他们准备合作装修自己的新房子。在装修之前约定：每人总共工作20天（包括在自己家）；每人每日的工资平均为100元；每人的日工资应使得每人的总收入和总支出等。需要计算每人的日工资分别是多少，以确定他们的工作日交换是否平衡，如果不平衡，将由谁买单。一个初步的工作日分配方案如下 表3-1 工作日分配方案,【实验方案】 设木工、电工和管道工的日工资分别为：，。由总收入和总支出相等的约定，建立线性议程组 整理，得,显然问题与矩阵特征值问题有联系，由于矩阵 是正矩阵且每列元素之和均为20，所以20是该矩阵的牲值，于是 就是属于特征值 的特征向量。按约定总工作量决定总工资应该为6000元，则应该有,【实验过程】 MATLAB程序如下 A=4,2,12;8,10,2;8,8,6; P,D=eig(A); disp(diag(D) II=input(input Index about eigvalu=20:=); if II=0,error(problem have no solution),end alpha=P(:,II); R=alpha./sum(alpha); format bank daily=300*R pay=A*diag(daily),运行结果：在MATLAB命令窗口中运行程序，屏幕将显示出A的三个特征值 20.00 -2.00 2.00 由于第一个特征值恰好为20，在提示符“input Index about eigvalu=20:=”后输入索引值1。 程序继续运行，得出最后计算结果为 daily = 93.94 96.97 109.09 pay = 375.76 193.94 1309.09 751.52 969.70 218.18 751.52 775.76 654.55 每人的日工资由变量daily的数据给出。,结果表明： 表3-2 日工资列表 最后的二维数组给出了二维数组，表明付款明细账，行表示支付，列表示收取。显然第一行相加等于第一列相加，第二行相加等于第二列相加，第三行相加等于第三列相加。 表3-3 工资支付收取方案,设计性实验2 卷烟叶组配方设计 【实验目的】 掌握线性方程组的各种解法。 能根据实际问题，使用Matlab建立相应的线性方程组并求解。 【实验要求】 1掌握几种线性方程组（定解方程组、不定方程组、超定方程组、奇异方程组、符号方程组）的解法。 2能用Matlab求解不同类型线性方程组的方法。,【实验内容】 如何提高卷烟抽吸时的感官质量，以及如何降低烟气中的有害成分始终是卷烟制造工业的重中之中。卷烟的叶组配方，即卷烟中的混合烟丝，是由多种单料烟叶按照某种特定的百分比例组合而成的，其化学成分含量（包括总糖、总碱、氯、氮、磷、氧化钾的含量）与其感官质量指标（包括光泽、香气、谐调、杂气、刺激性、余味）和烟气化学成分含量（包括焦油量、CO量、烟气烟碱量）之间存在着一定的映射关系，也就是说特定化学成分的叶组配方对应着其特定的感官质量和烟气化学成分，叶组配方化学成分的含量从另一个角度反映了其感官质量和烟气化学成分含量。因此，在对叶组配方进行设计时，通常要求在确定叶组配方化学成分含量的前提下来确定进入叶组的各,种单料烟叶的百分比例，这样既保证了卷烟叶组的感官质量，又确保了其烟气化学成分含量不会太高。本实验要求设计出根据叶组配方化学成分含量要求确定各种单料烟叶百分比例的数学模型，并对模型求解，给出问题的结果。 配方设计师根据将要生产的卷烟的抽吸风格的需要选择了12种单料烟叶进入叶组，其化学成分含量与叶组所要求的化学成分含量如表3-10所示，要求根据叶组所要求的化学成分含量确定出各种单料烟叶在叶组中所含的百分比例。,【实验方案】 该问题的目的是要在确定叶组化学成分的前提下求出每种单料烟叶在叶组中所占的百分比例，而叶组的某种化学成分是由各种单料烟叶相对应的化学成分按照其百分比例组合而成的，并且各种单料烟叶的百分比例之和应该为100%，因此，我们可据此列出线性方程组，求解该线性方程组即可求得每种单料烟叶的百分比例。 设编号为i的单料烟叶在该叶组中所占的百分比例为 ，即编号依次为1，2，12的单料烟叶在叶组中所占的百分比例分别为 ， ， ，根据前面表中给出的数据可列出下面的线性方程组,求解该线性方程组即可求得12种单料烟叶的百分比例。 观察前面所列出的方程组，未知数的个数大于方程组的个数，该线性方程组是不定方程组，有多个解，可利用线性代数中求解不定线性方程组的方法，求出该方程组的特解与通解。,【实验过程】 clear all clc %输入方程组的系数矩阵 A=31.75,32.49,26.64,25.5,28.31,24.13,22.67,18.72,19.48,24.76,19.36,22.44; 2.96,2.07,1.77, 2.35,1.76,2.91,2.59,3,2.07,2.47,3.41,2.48; 0.24,0.21,0.22,0.22,0.3 ,0.13,0.13,0.07,0.36,0.27,0.26,0.45; 2.05,1.84,1.86,2.14,1.99,2.36,1.97,2.22,1.79,2.06,2.21,2.39; 0.2,0.22,0.26,0.25,0.27,0.2,0.21,0.2,0.26,0.21,0.2,0.19; 2.01,1.95,2.29,2.11,2.1,2.36