数概念的发展及教学活动设计.doc

數概念的發展與教學活動設計 鄭英豪主任數的概念與運算一直佔有學校數學課程中的重要地位，其核心是發展數感(number sense)，包含了解數的意義、數之間的相關及相對大小、數的不同表徵、計算與估算等。數的範疇數在日常生活中有許許多多的應用，常見的情況有下列幾種： 1.個物的數量：以數表示一個群體中有多少個，例如本班有30個人，那本書有82頁等。個數的表現方式很多元，有時是從1、2、3、數起，直到數完為止；有時在不同物件上計數()，然後相加而得到總數，例如甲班有30人，乙班有32人，兩班合計就是62人；有時在許多完全相同的集合中，取一個被乘數和一個乘數，然後再使用乘法得到總數，例如一盒餅乾有12塊，4盒就是48塊；有時計數只是一個估計值，例如這城市約有1,200,000輛車、我們學校有大概200位小朋友等。計數的過程和把一個數當作計數是不同的。例如：82是一本書頁數的計數，但通常我們是從頁碼中讀出，應該很少人是從1、2、3、4、數出來的。2.測量的結果：以數表示某一東西具有多少的某種屬性。例如：屬性量測量結果測量單位重量2.6公斤2.6公斤面積1400平方公尺1400平方公尺容量1/2杯1/2杯速率60公里/時60公里/時在測量的時候，基於測量工具的刻度設計，我們便會發展出如小數、分數等非整數的概念，因此測量是發展兒童非整數概念的重要來源。3.物體的位置：以數表示一個依序排列上的某個特定地方。例如崴崴出生於民國80年5月6日(使用中華民國國曆的次序)；目前室溫21(攝氏溫度的刻度次序)；6.9級地震(Richter的地震分級次序)；颱風被測出向東偏北10方向前進(以東、西、南、北方向為基準，偏向的刻度次序)等。4.兩個量的比值：以數表示相同單位的兩個度量或相除的結果。例如地圖的比例尺1：500,000；商品折扣20%；圓周率；這顯微鏡具有512倍的放大率等，這裡面的數都是一個量相對另一個量的除法值。5.代碼：用數的形式表示同類物件中特定的一個或一群，例如身分證統一編號；信用卡的編號；電話號碼；郵局存簿的局號、帳號；學號；座位號碼；門牌號碼等。代號有時候同時包含數與文字。由於代號可用來分辨東西，因此能用以傳遞訊息，例如：身分證號碼的第2碼以1表示男生，2表示女生；長途電話區域號碼02代表臺北市、臺北縣及基隆市，07代表高雄縣及高雄市等。以上這些都是生活中可以看見數的情況，其中的數都是在特定脈絡下表示特定意義的記號，除了代碼這一類本身不會用來當作數計算之外，其餘的數都是學校數學中用來學習加減乘除四則運算的題材。兒童數概念的發展兒童數的知識，是由二種不同資訊系統共同運作漸漸發展出來的：一、生活的、經驗的兒童在生活中可以經驗一些不需數值回答的量的問題，例如判斷哪一堆糖果比較多、看出那個小朋友比較高等。漸漸地，兒童開始在語言溝通中，發展出以生活經驗為基礎的數概念，例如藉由一、二、三的數詞複誦學習數的次序；同時也在生活中，經由成人、書籍、電視媒體等的教導或模仿，慢慢發展計數活動，並能說出較大的數詞。在這種環境下的數概念主要依賴生活語言發展，因此受生活語言的語詞意義與語法結構所影響，例如使用英語的兒童，因為前12個數字在口語中都沒有依序變化的規律，因此對於10、11、12之間的關連，就不如使用中文的小孩可以很輕易從十、十一、十二的語音中掌握第一個十進位的關係。二、學校的、正式的兒童進入學校後，開始有系統地學習數碼符號、數值結構、算術與算則等。這些學習所得的知能比生活的、經驗的學習更具效率，同時也更具應用上的一般性。一般而言，生活的、經驗的環境中所發展出來的數概念可以被學校的、正式的環境所學的數概念所涵蓋。這種環境下數通常都以印度阿拉伯數碼表示，並且會將小數、分數等都以特定的數碼記號表示，因此數碼符號的認識以及與口語數詞的連結就變成學習的關鍵。研究指出有些兒童在進入學校前具有良好的數知識，但進入學校後卻無法學得學校所教的有效率、一般化的數學知識。例如在街上幫忙爸媽賣特產的兒童，通常都能彈性地使用數的合成與分解，處理買賣等金錢上的交易，對於一些固定單價物品的倍數也能熟練運用以計價，但是當他們上學時，同樣的數字問題，以學校慣用的數碼方式呈現時，這些兒童確有極大的困難，這顯示生活中發展的數概念，並不只是學校數概念的前身或一種特例，而是有其特定意涵的知識體，因此在學校中進行教學時，這種生活與學校間的落差是需要特別注意的。數概念的首要發展是區分基數(cardinal number)與序數(ordinal number)。所謂基數就是一般人所熟知的物的數量，可以用生活語詞或符號語詞表示，例如8(八)張桌子，32(三十二)個小朋友等等，同時在口語中有對應的數詞，例如、 等，通常我們用口語或書寫的方式來傳達物的數量的訊息。至於序數則是用以表達次序(第幾個)的數，例如在班上身高排第8、遊樂場買票時排在第32位等。兒童在計數個物的能力上，序數的發展早於基數，這是因為兒童在生活中會先學會穩定的數詞次序(一、二、三)，並很快可以將口說的一、二、三與對應的物件(例如糖果、小朋友、玩具等)做一對一對應，因此會先建立數到多少就是第幾個的序數概念。但基數概念則還需要將數到最後的數連結到此堆個物的數量，在從頭數起的情境中，一、二、三、四、五的第五個就是總共五個，但如果從3開始數一、二、三、四、五，第五個就不是總共五個，而是總共七個。在兒童尚未將數的兩種觀點(序數觀點與基數觀點)建立良好的連結之前，這兩種不同概念的數是很容易產生困擾的。數的記號與語言數的記號與語言主要用於表徵數的概念，通常出現在需要溝通的情境下。所謂表徵是指將數的實際意涵以圖示、語詞、符號表達出來，而不失其主要訊息的活動，藉以達成溝通的目的。一般人書寫時最常用的數表徵是學校教的印度阿拉伯數碼以及、等符號，印度阿拉伯數碼是目前通行全世界的符號系統，在這個系統中，所有的數都是由十個基本數碼(digit)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，配合十進制的位值(個、十、百、)所構成的表徵系統。高階單位如10、100的意義需更抽象且多樣，包含(1)10是10個1所組成；(2)10可以作為一個完整的單位進行複製並作為被計數的對象，例如40是4個10所組成(而非低階的40個1)；(4)高階單位10與低階單位1能夠彈性的混合使用，且不混淆兩者之間的意義等。數碼與運算符號都有口語用的語詞，例如我們寫出11這個數碼時，腦中跟隨的是十一，而慣用英語的人就會浮出eleven，並且都是語音的格式，也就是說，一般人書寫時採用符號系統的表徵，而口語是採用語言系統的表徵。就中文來說，我們用十個不同的單音代表從0到9的數字，又用十百千萬等音來代表10100100010000等的位值，表面上看中文在口語系統和書寫系統中的配合性很高，不過仔細觀察可以發現，中文中零到十都是單音詞，而用印度阿拉伯數碼表示時，卻只有0到9是單碼，而10則是雙碼，這表示兒童在書寫和口語雙系統的調和運作上，音節數與符號長度並不是完全一致的。進一步來說，中文使用十、百、千、萬這幾個單音詞(也就是數名)來表示位值的單位，因此三萬一千五百七十二其實是三萬一千五百七十二，也就是同時採用了萬、千、百、十等四個單位在表達這個數，但是印度阿拉伯數碼卻是表示成31572，位值單位隱藏於不同位置上，因此除非兒童位值概念發展成熟，否則這個數碼本身就只是一組號碼，像是學號、身份證號這般，並不會被理解成為一個數。簡單地說，中文的口語中位值是直接由數的位名表示出來的，但是在印度阿拉伯數碼中，位值卻是隱性而需以數字的位置來決定的。多數的人在看到一個很大的數字而要知道它是多少時，通常有都是以數名的方式倒過來數，也就是由右至左個、十、百、千、萬點過來，這樣的作法其實就是利用數名在感受數字的多少，這也就表示一般人其實是以語言系統的表徵來理解符號系統的表徵，因此位值的學習應從數的位名的理解為起點，再慢慢過渡到印度阿拉伯數字記號。上述說明不難看出中文在發展數概念上具有相當程度的先天優勢，對慣用中文(包含客語、台語發音)的兒童來說，生活語言的發展中就已將基本的數詞、10進位值概念都建立起來，進入學校後，除了十(10)有音節與符號長度的歧異需要轉換外，基本上印度阿拉伯數碼的10進位系統與中文的數字系統幾乎沒有差異，因此進入學校後，兒童基本上是學另一種書寫記號而已，數系統的本質並沒有改變。數概念的教學活動設計前面提到數的理解是基於以口語為主的語言系統表徵，因此數的理解基礎來自於兒童生活中常用與慣用的口語，學校教的印度阿拉伯數碼可以看成是數概念的第二語言，必須與語言系統間有緊密的對應才能被理解，因此教學時首要任務就是將符號系統與語言系統建立轉譯的對應。對於慣用中文的人來說，由於口語系統與學校的數字系統一致性很高，因此不容易感受到兒童在數的理解上有什麼困難，不過也因為如此，我們也常常忽略了非慣用中文或者母語不是中文的兒童，他們在口語以及學校數學之間，存在著無法輕易跨過的困難。如果兒童的常用或慣用語言不是中文，例如所謂的新住民與原住民，那麼我們所熟悉的中文音詞本身就是需要學習的，這個時候，以中文念出一個數跟用印度阿拉伯數碼寫出一個數一樣都是第二語言，兩者都必須以兒童的母語或慣用語言為基礎進行轉譯，而這個時候，兒童連最基本的數詞序列都得從頭學起，困難度就遠遠超出我們的想像。由於生活語詞中數字的累計往往只是機械性的複誦數詞序列，常常只是類似童謠或念白的形式被記憶，而非學生真正具備的思維，因此教學時必須設計許多需要做數的活動，也就是要讓學生將所說或寫的數以具體物或代表物表示出來，而非只是要學生以口語或書寫反應，而這也是在設計兒童數的學習活動時，最重要的元素。在實際設計活動時，我們可以根據兒童學習時有無其他協力合作的對象，將活動分成三種類型，分別是兒童獨力完成、兒童與其他同儕合作完成、以及兒童與師長共同完成三種，以下分別舉例說明：一、兒童獨立完成的活動這是需要獨力完成的活動，沒有其他人給予協助或引導，因此只提出問題是不夠的，必須要給兒童經過精細設計的逐步引導或提問，有系統的帶領思考的方向，讓兒童經由這些逐步的思考活動來學習數概念。例如：範例一、把1、2、2、5、7、5、6、3、9、8這10個數字分成4群，每群裡面的數字相加的總和都相同。請依照次序回答下列問題：1.要把這10個數字分成4群，你知道每群裡面的數字相加總和應該是多少嗎？2.請寫出一群可能的數字組合。3.根據你所寫出的這一群，可以寫出下一群嗎？是多少？4.請寫出這個問題的答案，4群分別各是多少？5.只有一種可能嗎？有沒有其他的答案？範例二、在下面兩個計算式的六個空格中，填入1、2、3、4、5、6，每一個空格填入一個數字，數字不能重複，讓兩個計算式的答案都是正確的。 請依照次序回答下列問題：1.你知道從1、2、3、4、5、6這六個數字任意選出三個，組成乘法計算式，可能的情形有哪幾種嗎？2.扣掉上面你已用掉的三個數字，剩下的三個可以組成加法計算式嗎？3.從頭來，你知道從1、2、3、4、5、6這六個數字任意選出三個，組成加法計算式，可能的情形有哪幾種嗎？4.扣掉上面你已用掉的三個數字，剩下的三個可以組成乘法計算式嗎？5.回到原來的問題，你覺得從這六個數字選出三個，先完成乘法計算式比較好，還是先完成加法計算式比較好？6.這個問題的答案是什麼？有其他的答案嗎？在設計這類問題時最關鍵的就是要將完成最終問題的可能過程切割出來，分成一個個小問題來引導學生，基於這種特性，如果問題本身有很多不同的解讀與迥異的解決策略，設計成一個個小問題反而會限制了學生的思考路徑，像這樣的問題就不適宜設計成兒童獨力完成的。二、兒童與同儕合作完成的活動兒童間的互動可以傳遞彼此不同的知識與思維技巧，用兒童可以相互理解的語言和肢體動作作為溝通工具時，往往比成人用高層知識的語言更容易領悟與體會，因此將學習活動設計成兒童與同儕間合作完成的活動是很有效率的方法。而在引發一個群體的兒童一起參與活動的動機方面，有明確規則的競賽模式是很好的策略，可以激發兒童取勝的企圖心。例如：範例三、準備18的數字棋各兩個並均分給兩位兒童，以及44格的正方形棋盤(如下圖)。兩個人輪流在棋盤裡放入數字棋，規則是不論直的、橫的或是斜的，四個格子裡面的數字加起來的總合都必須等於16，放入最後一個數字棋而完成遊戲的人獲勝。範例四、如下左圖，1到4號杆子上共有12顆珠子，5號杆子上有三顆珠子，現在要將12顆珠子平分到1、2、3、4號杆子上。如果1到4號杆子上的珠子都跟5號杆子一樣多(如下右圖)，那麼我們可以知道，12(1到4號杆子上有十二顆珠子)3(5號杆子上有三個珠子) 4根杆子，這個時候我們就說12是3的倍數。 1.先在5號杆子上隨便放上幾顆珠子，然後每人輪流從袋子裡拿一顆珠子放在1到4號杆子上，最後使1到4號杆子上的珠子數目合是5號杆子上珠子的倍數的人即獲勝。2.如果我們讓紅色珠子代表3，黃色珠子代表2，藍色珠子代表1，想想看怎麼放珠子所代表的數才能是5號杆子上珠子的倍數。3.現在指定5號杆子上珠子的某一個倍數，要將這個數平分給每根杆子，而每根杆子上的珠子數目要等於5號杆子的珠子數目，請問4根杆子做得到嗎？要幾根竿子才保證一定做得到？在設計這類問題時，必須先確認兒童能夠理解道具的使用方式與競賽的規則，同時遊戲中以專用語詞表示的數學知識也必須先確認學生能夠理解，否則活動就不可能進行。假如我們沒有把握學生一定能理解活動所用的語詞意義，遊戲開始前舉例說明是必要的。由於這類型的活動既沒有逐題引導也沒有成人指導，如果活動中所涉及的數學知識過難或者用語太艱澀，超過兒童本身的知識負荷，那麼學習就不可能發生，因