中值定理与导数的应用.ppt

y=f (x),第三章,中值定理与导数的应用,第三章 中值定理与导数的应用,1. 理解罗尔定理,拉格朗日中值定理的条件和结论,了解柯西中值定理. 2. 熟练掌握洛必塔法则,理解洛必塔法则应用的条件,并能熟练地用洛必塔法则求各种未定型极限. 3. 掌握用导数的符号研究函数的单调增 (减) 区间的方法.,4. 理解函数极值的概念,能熟练地求出函数的极值点和极值. 5. 能用导数研究曲线的凹向区间和拐点. 6. 了解函数作图的方法和步骤,会描绘简单函数 的图形. 7. 理解函数最大值和最小值的概念,会求闭区间 上连续函数的最大值和最小值.,一、罗尔（ Rolle）定理.,罗尔定理: 若函数 f (x) 满足:,(1) f (x) 在 a, b上连续;,(2) f (x)在( a, b )内可导;,(3) f (a)=f (b),则在( a, b )内至少有一点 , 使得 f .,第一节 中值定理,几何意义:,若在两端点高度相同的连续曲线弧上,除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线,那么在这曲线弧内部至少有一点,在该点处具有水平切线.,由 f (x) 在 a, b上连续,则 f (x) 在 a, b 上必取得最大值 M 和最小值 m(显然 m M).,(1) 若 mM ,由 f (a)=f (b) ,则 M 与 m 中至少有一个不是端点的函数值,不妨设 M f (a),所以, ( a, b ) , 使 f ( )=M,下面证明, f .,证明：,由 f (x) 在 ( a, b )内可导知 f 存在.,而 f , 0,f + , 0,由于 f 存在,所以, f ( f + 0,即 f .,(2) 特别 m=M,这时 f (x)=M,对于x a, b ,都有 f x,因此,可以取 a, b 内任意一点作为,有 f .,解: 因为,由罗尔定理知,至少存在一点,使得 f ,事实上,注：罗尔定理可作为 f 的根的存在性定理.,例2 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根, 它们分别在何区间?,解: f (x)在1, 2上连续,在(1, 2)上可导,且 f (1)= f (2);,由罗尔定理: 1 , 使 f (1;,同理,2, ,注意到,f (x)=0为二次方程,使 f (2;,它至多有两个实根,故 1, 2是 f (x)=0 的全部实根.,f (x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0, 1)内,f (x)在-1, 1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当 x 时,f (x)= 1.,x 时,f (x)= 1.,x=0时,f (0)不存在.,(ii),(iii) y=f (x)=x, x1, 2,f (x)在1, 2上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1, 2)内,f (x)=1.,二. 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理.,拉格朗日中值定理:,若函数 f (x)满足,(1) f (x) 在 a, b 上连续; (2) f (x) 在(a, b) 内可导.,则在 (a, b) 内至少有一点 ,使等式 f (b)f (a)=f ( )(ba). (1),成立.,几何意义:,平行于弦 AB.,除端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,那末在这曲线弧内至少有一点,在该点处的切线,证: 令 (x)= f (x)L(x),显然:, (x)在 a, b 上连续,在 (a, b)内可导,且 a b,由罗尔定理,a, b,使 ( ) .,而 (x),所以 ( ),=0,由此得 f ( ),即 f (b)f (a)=f ( )(ba).,注:,(1)式也可写成:,(2),或 f (a)f (b)= f ( ) (ab). (3),若 f (x)在 a, b上满足拉格朗日中值定理条件,对于 a, b 上任意两点 x, x+x,在 x, x+x (或 x+x, x ) 上, 公式(1) 也成立.,y=f (x+x) f (x),=f ( ) x . 其中 (x, x+x) 或 (x+x, x),记 =x+ x (其中0 1),有限增量公式:,y= f ( x+ x ) x (4),比较 :,f (x)在 x 处于可微： ydy=f (x)x 要求:| x |很小， 且f (x)0,f (x)在 a, b 上满足 拉格朗日定理条件： y= f ( x+ x )x 要求: x有限.,如果函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零,那末 f (x)在区间 I 上是一个常数.,定理:,(即 f (x)C, xI,f (x) xI.),证明: 在区间 I 上任取两点 x1, x2,不妨设 x1 x2,则 f (x)在x1, x2上满足拉格朗日定理条件.,有 f (x2) f (x1)=f ( )( x2x1). ( x1 x2),由已知条件 f ( )=0,所以 f (x2) f (x1)=0,即 f (x2)= f (x1),由 x1, x2 的任意性,所以 f (x)C , xI.,例3. 证明,证:,( xR ),由于 f (x),所以 f (x) C. (C为常数),当 x0= 0 时,所以,即,例4. 设 ab0 n1.,证明:,令 f (x)= x n 显然 f (x) 在 b, a上满足拉格朗日定理条件,证明: nbn1(ab) an bn nan1(a b),有 f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a),即 an bn = n n1(a b),又 01,所以 bn1 n1 an1,nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b),即 nbn1(ab) an bn nan1(a b),例5. 证明:当 x 0 时, x,证明: 令 f (x)=ln(1+x),显然 f (x) 在 0, x 上满足拉格朗日定理条件,有 f (x)f (0)= f ( )(x0) (0 x),又 11+ 1+ x,所以,即,三. 柯西 ( Cauchy) 中值定理.,那末,曲线上点( x , y )处的切线的斜率为,弦 AB 的斜率为,所以,柯西中值定理:,若函数 f (x) 及 F (x)满足:,(1) f (x) 及 F (x) 在 a, b上连续;,(2) f (x) 及 F (x) 在 (a, b) 可导;,(3) F (x) 0 x(a, b).,则在 (a, b) 内至少存在一点 ,使等式,(5),成立.,证: F (b) F (a) = F (1) (b a) 0 (a 1 b),显然:,(1) (x) 在 a, b 上连续;,(2) (x) 在 (a, b) 内可导;,(3) (a)= (b).,所以 (a, b),使 ,而 (x),由 F , (a, b),故,注:,当 F (x)= x 时,F (b)F (a) = ba,F (x)= 1,公式(5)为,即 f (b) f (a) = f ( )(ba),第二节 洛必塔(LHospital)法则,定理1：(洛必塔法则),如果,(1),则,证：,由,知 g(x)与G(x)在x0处连续,也在U(x0)内连续.,对于U(x0)中的一点x. 考虑x0, x (或x, x0),有：(1) g(x), G(x)在 x0, x上连续.,(2) g(x), G(x)在 (x0, x)内可导,且G (x)=F (x)0.,由柯西中值定理：,所以,例1：求,解:,例2：求,= ,解:,例3：求,解:,例4: 求,=1,解:,例5: 求,= ,= 0,解:,三、其它未定型 .,1. 0 . 型, 型.,例6: 求,解:,例7: 求,解:,2. 00型, 1 型, 0型 未定型.,将幂指函数f (x)g(x),取对数, 化成乘积形式:,ln f (x)g(x)=g(x)ln f (x),例8: 求,(00型),设y=xx 则 lny=xlnx .,(0型),= 0,解法一:,又 y=eln y,所以 .,=e0=1,解法二.,= e0 = 1,例9: 求,(1型),解法一:,( 0型),所以:,解法二:,(1型),例10: 求,( 0型),(0型),解:,= 0,=e0 = 1,所以,例11: 求,解: 当 x0时.,x-arcsinxx-arcsinx,sin3x x3,例12: 求,= 1,解:,不存在(且不为),注: 当,不存在且不为时,不能用洛必塔法则.,例13: 求,解:,但是,第三节 泰勒公式,1. 若f (x)在x0可微,则在x0附近.,(1),且 (1),x0,M,2. 考虑,(2),且,且：,.,(3),泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示成(xx0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和.,这里,在x0与x之间.,其中,(4),证明：,由假设Rn(x)具有直到(n+1)阶导数,且,= ,注1：公式,称为f (x)按xx0的幂展开的n次近似多项式.,称为f (x)按xx0的幂展开的n阶泰勒公式.,其中:,若对于某个固定的n,当x在开区间 (a, b) 内变动时，,则，,称为皮亚诺型余项.,称为拉格朗日型余项.,注2:,注3：当n=0时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理.,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.,注4：当x0=0时,麦克劳林(Maclaurin)公式:,例1. 写出f (x)=ex的n阶麦克劳林公式.,解：,所以,当 x=1时,当