对圆周运动中滑块临界问题的讨论

v；：乙：；3 守Z必i.f学多孝 习噩研究 对圆周运动中滑块临界问题的讨论 周鹏 （江苏省扬州中学江苏扬州225009 ) 文章编号：1002-218X(2016 03-0031-01 圆周运动中的临界类问题很多，水平转盘上滑 块的临界问题更为常见。 例题如图1所示，两滑块A、B套在水平粗糙 的CD杆上，并用不可伸长的 轻绳连接，整个装置能绕过 户n CD中点的轴J1转动，已知-, ;i i 言1- 两滑块质量相等，杆CD与滑 lo 块A、B间的动摩擦因数也相 等。开始 时绳子处于自然长圈l 度（绳子恰好伸直但无弹力， 滑块B到）1轴的距离为滑块A到J1轴距离的2 倍。现让该装置从静止开始转动，使转速缓慢地逐渐 增大，在从绳子处于自然长度到两滑块A、B即将滑 动的过程中，下列说法正确的是（ ） A.A受到的静摩擦力一直增大 B.B受到的静摩擦力先增大，后保持不变 C.A受到的静摩擦力先增大后减小 D.A受到的合外力一直在增大 解析在装置的角速度很小时，滑块A、B均靠 静摩擦力提供向心力而做匀速圆周运动，相应的动力 学方程为mg =mw2r ，可见在相同的情况下， r 越 大越容易滑动，与m无关。即最初的阶段， A、B所受 的静摩擦力方向均指向转轴。随着角速度的增大， B将首先要滑动，此时的角速度为w1 厉。此后 将由细绳拉力和最大静摩擦力的合力提供B做圆周 运动的向心力，有 fBmax十T=mBg+T = mBw 2 rB 对滑块A ，在绳中出现拉力之后，由静摩擦力与 拉力的合力提供其做圆周运动的向心力。 接下来的问题是：系统最终会向哪个方向滑动？ 可以先考虑极端的情况，就是当A、B都开始滑 动时，根据我们的经验，在质量相同的情况下，它们一 定向着滑块B的方向滑动。也就是说，最终要滑动 时，fB 的方向仍指向转轴方向，而!A的方向则已变 为背离转轴方向向外。可见，滑块A受到的静摩擦 力是先指向转轴方向减小直到为零，后背离转轴方向 增大。所以题中选项B正确，选项A、C均错误。 又因为滑块都在做匀速圆周运动，所以它们的向 心力由合外力提供，转动的角速度越大，所需的向心 力越大，从而可知合外力就越大，即选项D亦正确。 本题应选B、D。 现在的问题是：如果滑块A、B的质量不相等，即 mA,:/:; mB，结果还是上例中的情况吗？我们的常规经 验还可靠吗？实际上，如果没有进一步列出系统的动 中固分类号：G632. 479 文献标识码：B 力学方程，我们根本就没有认识到这一过程所蕴含的 本质规律。 不妨假设系统最终的运动还是以上的情况，则当滑 块A、B都刚要开始滑动时，A的动力学方程应为 T-mAg =m Aw 2 rA I u.g(mA +mB) 由两式可得 w = A兮二f lfLBI B lfLAA _ /g(mA十mB) 即转盘的角速度为w-A/ 一时，两滑 v mBrB-mArA 块刚好能不滑动。 由上述结果可见z (1）当mBrBmArA时，存在实数解，即系统最 终的运动情况确实跟前面分析的情况一致； (2）当mBrB= mArA时， ！这是什么物理 含义呢？它表明，只要绳子的最大拉力允许，可以 取任意值，滑块都不会滑动a (3）当mBrBmArA时，无实数解，即系统最终 的实际运动情况必然跟前面分析的不同。那此时系 统的运动情况是怎样的呢？ 为了满足（3）中mBrBmArA的条件，我们可以 假设滑块A为质量很大的铅块，滑块B为质量很小 的软木块，这样一来，可以想象，滑块B对细绳的拉力 将远小于滑块A的最大静摩擦力，对A的运动几乎 产生不了什么影响，也就是说，滑块A基本上就是在 自身静摩擦力的作用下做圆周运动的，该静摩擦力方 向一直指向转轴，且一直在增大，最终会拉着B向B 到A的方向做离心运动，反过来，倒是滑块B的摩擦 力方向会改变。系统最终要滑动时，满足的动力学方 程应为 mAg+T=mAw 2r A T - mBg=mBw 2rB I u.I!(mA十mR) 由两式可得 w =A/ 二:! V瓦fLAIA lfLBI B 比较可见，系统最终会向着mr乘积较大的一侧 做离心运动，此过程中mr乘棋较大的一侧的滑块所 受的摩擦力方向始终指向转轴， mr乘积较小的一侧 的滑块所受的摩擦力会先减小到零后再反向增大。 这才是最本质的规律！ 由以上例题可见，尽管都是滑块的临界问题，但 一旦条件发生细微改变，滑块的向心力情况就可能发 生质的变化，必要时