长大桥梁结构按多点输入的竖向地震反应分析

第片卷 第6期 、9 89年11月 东北林 业大学学报 JO U RNALO F N OR T工I 一E AST FORESTYU NIV E R SITY V ol . 17 No . 6 N ov . 19ag 长大桥梁结构按多点输入的 竖 向地 震 反应分 析 屈铁军 讼去 了匕 之人 (东 北林业 大学) ( l合尔滨市公路管理 处) 【摘要】 本文采用土与结 构 相 互作用 的计算模型分析了长大桥梁结 构的竖向地震反 应 。 在相互作用的计算中 , 利用 圆心位移 影响函数法求得地 基的动态复刚度 , 采用 子结构技术建立结构的动态方程 , 通过快速傅立 叶变换 在频域上求 解 。 将 计算结 果 与刚性地 基计耳模型的计算结 果以及同时同位相愉入的计 算结果协较 表明 : 长大桥梁应禾用土与结构相互作用计茸 模型 , 按 多点输入计算 , 并进行 竖向反应 分析 。 主 题词 : 桥梁 ; 相互作用 ; 位移 ; 函数 ; 地 震反应分析 多点输人 计算地震 反应 是相对 于同时同 位相输人而提出的 。 同时同位相输人 地震波 来计算地震 反应 , 对于 一长度远 小于地震波 长的 中小型 结构物是近似成立的 。 但是 , 对于 一氏大的桥梁 结构 , 如果其长度和 地震 波的波 长 住同一数量 级上或者比地震 波的 波长更长 时 , 在各输人点输人完全相同 的地震 波进行 计算 , 即 同时同位相输人 , 则和实际情况 不 相 符合 。 事实上地 震波 在土 中传播 时 . 由于 到达介质 各点 的时 间不 同 , 介质各 点 的运动 也不可能完全相同 , 这一 点已被 地震观 测的结 果所证实帅 。 输人点这 种振动上的差异 , 对长大桥梁结 构影响较大 , 必须 给予足够的重 视 。 竖 向地震力是一个有争议的问 题 。 从一些资料上看 , 竖 向地震力对不同 的结构物 , 破坏作用是不同的 。 桥梁 结构受 竖向地 震力 的作用问 题目前还很少有人 研 究 , 原因是 一 些抗震研究人员认为桥梁这 种结构 是针对车辆 等竖向荷载设计的 , 不会因竖 向地震力作 用而破坏 , 更多的研究是桥梁结 构纵向及横向振动 。 长大多跨连续桥梁 结 构是多次 超静定结构 . 具有 较好的抗震性能 。 但是 , 正因为它具 有较好 的 整 体 性 , 所以容易产生较大 的附加 应力 。 地 震时 , 由于地 震波存在着相位差 , 各桥墩基 础之间产生相对位 移 , 可能 给超静定结构造成很大的内力 。 所以多点输人 的 计算方法对长大多跨连续桥梁结构尤 为重要 。 收稿日期 : 20 59 年4月 一5日 . 犷 一 乓始了 地震波传播方向 图l不考虑相互作 用的计算模型 100东北林业大学学报第 17 卷 1 不考虑相互作用的输入计算 图 1 是一多跨连续桥梁 的计算模型 。 按照复 阻尼理论 , 结构 的绝 对位移 方 程可写 成 : Mx总 + Kx总 = 0 (i) 式 中 : M结构 的质量矩阵(kg ) ; K 结构的复刚度矩阵 ; x 总 结构质点的绝 对位 移向量(m) ; 将节点分为上部节点和边界节点两部分 , 分别以下 标 a 、 b表 示 。 将 ( 1)式写成分块形 式 , 得 。 Ma . M . 、 、(x . , rK二 K 。、 (x . 7 ro矛 11布 . 七+】 i亡二、t k M、 . M 、b声t x bJ气 K ba K 、bJtxb ” o J (2) 由于采用的是离散的质量模 型 , 所以有 从 b= o M o. = o 将 自由节点位移 x 。分为两部 分 x 一 二 x c + x (3) 式中 : x c 一 由支座 位移引起 的位移 . 称它 为拟静态位移(m), x - 一 由支座 加速度引起 的位移 , 称 它为动态位移(或相对位移)(m ) 。 - 拟静态位移 x c可以由(2 )式 的第一式去掉动力项 , 利用静力 平衡条件求得 K ,a x c + K 一、 x b = o (4) 令 L= 一 K .: 一 K 一b , 则由(4 )式得 x “ = L xb (5) 称矩阵L为拟静态矩阵 。 x b 是边界处 的位移 向量 . 由于不考虑土 与结构相互作用的 影响 , 所以 可直接代人 地震位移 , 即(5)式可以写成 x c = Lx : (6) 式中 : 勺地震位移向量(二) 。 将 x . 二 x + 句x : 代人 (2)式 , 去掉静力项 , 得到动态位移方程 (或相对位移方 程) : M a a x + K a a x =一 M a a Lx : (7) 式( 3) 、 ( 6) 、 ( 7)就 是不考虑相互作用影响的多点输人位移方程 , 可以写成 : ( x 。二 j M二 【x c 少 = x 亡 + x x + K a . x 二一 M a a Lx , (8) Lx 。 上式的第二式可用振型分解 法求解 。 第 .6 期屈铁军等 : 长大桥梁结构按多点输人的竖向地震反应分析 10 1 2 考虑土与结构相互作用的多点输入计算 由于桥墩相距较远 , 相互间影响很小 , 所以假定每一个桥墩放置 在一个独立的半无 限大 的弹性地基 上 。 桥墩一般为椭圆形 , 这里假定 椭圆形基础放置在半无限大的弹性地 基上 , 用圆心 位移影 响函数法求地基 的动态复 刚度 。 文献3给 出了圆形均布谐 振荷载作用下 的 圆 心O处 的位移函数 材即 月i曰t 却 。 = = 兰丛氮 一f , a . , ” + f , a . , “, “ ” 图2圆形 均匀荷载作用在半无限大弹性体上 式中 : 其中 : , 半无限大弹性体的泊松比 ; 鲜半无限 大弹性体 的剪切弹性模量 (KN/m Z); 口 . 一 无量纲频率 , a . 二 了.; , . 。 荷载的激振频率( r ad / s) , 气半无限大弹性体的横波波速 (m/ s) ; r . 圆形荷载面积半径(m) , f , 、 f : 位移函数 , 是 a . 及 护的函数。 万f, (风 , ,)二 口 51n L口 。分少 十 a 。 1 。, 1 _,_ 。 云i二万恋下 一“ 一 co 、a.。, cos (a . ) 4(1一吞2) 一 。 m 合拿 K 二P豆+ K l:1) 万fZ(a 。,吞 , , n 、. 、 1 。 , 飞 . 下少 = 七C 05气口 一廿) 一 I J一l二不一 .一下 而万一勺 一 !Sl nL口 。口) 口 。 L4气1一口“) - J sin (a . ) 4(1一吞 2) + 一R 。 合拿 K ;Pl+ K lS二 沙 = -生 夕P了 1一2梦 2(1一 , ) 。P 半无 限大弹性体中的纵波波速(m/ s ); R 。、 I 。 分别表示对其后面的量取实部和虚部 。 2(2+ ax)2了1+ai吞2 a: (a : 一a , )(a 3 一a i) 2(2+ a:)2 了1 +a : 吞 , 口: ( a,一aZ) (内 一a;) 1 02 东北林业 大 学 学报第1 7卷 K s= 2(2+ as)2了1+as吞2 as(ai一as) (姚一as) a l 、 “: 、 。 是下面方程的三个根 2 5+ 82 2 + (24 1 6吞 2)Z+ 16(1 一 丹 2)= 0 侧1 +a;x Ze一ax d x (夕 = 1 , 2 , 3) 梦 = ) 、 而舟 一ao x d x ,J,孟 P 户 了 了丁产 其 丰 : : 二 今 - z R :R 半无限 大弹性体 中的瑞 雷波波速 (m / s ) 。 给均布 圆形荷载面积 的半径 : 。 一微小增 量 击 。, 则 圆心O处相位的位移增 量为 口 u) - J _ “脚 。 = “T 。 口犷 。 利用圆的轴对 称性 , 可以求得图3所示 的圆弧形荷载(阴影部分)在圆心O处产生 的位 移增量 d r 。 (10) 夕一兀 代一9山 一一 曲 将式(10 ) 作为积分单元在荷载面积上积分 , 可 以求出任意形 状荷载面积上的任一点的 位移 , 将基 底面上各点 的位移全求 出来 , 取平均值作为基础位移 , 从而确定了地 基 的动 态复刚度 。 图4为桥墩基底的形状 , 由于桥墩基 础一般较小 , 基底各点 的位移值相差较小 , 这 里只求i 、 2 两点 的位移 , 取二者的平均值作为基底位 移 , 以减少机时 。 .1 | 司 |! . 异 。 _. 咚 :二一 尸 兰 一乞 二 二小一 几牛 石一 图3对 圆心 0的位移 影响系数图4桥墩基底形 状 将 式(J 0) 山的 : 。 以积分变量占代替 , 通过积分求得基底位移的解析式 : : 。=e,. , F , (a , 人 , 声 l,: , 臼, , . ) + 该尸 2 (a , 1 1 , 刀 , 少, 。, 扩:) 其中 : F ; (a , h , 一 , , 。 , : . ) = (1 1) 竿 , 1 ( 一 ;:一)一鑫 : a+ 卜91(“ , 一d“ 二! 了a,+(h/ 2)1 g , (占 , , )d占 第6期 屈铁军等 : 长大桥梁结构按多点输人的竖向地震反应分析 10 3 凡( a , 丙 , 声, , , 。, 妈) = 些 - f : ( 一竺 子 下s , ) 命! 了a h幽(; , , ); 一命 了a名+(h/ 2). g : (若 , v)d参 g , (言 , , ) = 约 十 占 口厂 : (a ., 2着 约 1 一 arc co” 护一 2a 2 古 “ 9 2 (省 , 对 二 ! 1 ( “ “ 2 “ , “ 禁斜 一 二 淤 二 . 坐玉 夕“旦 冲丁 夕丝也些一 一; 一、产 一二一 , 飞 c 。、 (喇) a 一 L组气i 一 F 一夕 J J r I、 。 一 、 州 卜 g a一 八 d 不 , 声一 两 口 一 一 渭缪, + 。 合 拿 K j。j + K lS! + 一; 合拿 pj, K且S ! 汽 _ 口子 , (a 。, v) 。 f一口Z a 。 5 in(a 。 口) 一 吞e os ( a 。 吞) + 口 乃 一 一 一二;了-一二 呢一 - 一一 、 - 一 - - 一 一- - 口 , : L a . 一 获产 而 一 ” 。一(、, 卜 犷 群瓮 + 、暗 拿 K: Pl+ K 盆S几 + 、 合拿 K, ,P, + K 】S:, 丫 亿1 +a ixZe一王ax (一fx)d x 1 1 , Pj二 ! 侧r石币厄 e一 ( 一 ,x)、(, 二1, 2 , 3) J 吞 地基的动态复 刚度为 K P = F ,一 艺凡 F贾+F尝 S 其中 : S 基地面积(m Z)。 地基 的动态复 刚度确定以后 , 考虑土与结构相互作用的桥梁结构的计算模型 可简化 成如图 5 所示 。 将结构体系划分为基础 子结构 和上部子结构 , 分界线 如 图 5 中虑线所示 。 基 础子结构方程 : 雀 二 少 . 卜f _ 、 、 r上叹 侧斤 fl j-一一 J, 沪 Kp i MP x P+ K P xP= R 一 MP劣 : 式中 : M P 桥墩基础的质量矩阵 , 阵 ; 价 地基的动态复刚度矩阵 , (1 2) 对 角 地震波的传 播 方向 图5考虑相互作用的计算模型 对角阵 ; 第1 7卷报 一 学一 104 东北林 业大 学 R上部子 结构 的反作用力向量; x P - 一 基础 的相对位 移向量 。 上部子结构方程可将地基看成刚性地基 , 直接由(8)式写 出 : x a = x c + x Ma 。 x + K a 。 x 二 一 M ;。 Lx b x e 二 Lx 、 (13) 为求得上部子结构 在边界处的力向量表达式 , 将(1 3)式 中的动态方程连同边 界处 节点一同写 出 : M 。 o 0 M b :rx 。 , rK二 K 、 :, x 。 1 。一 M二Lb) j 二 _ 七 + 】 、 _ 奋 = 弓 _ 七 (14) “x b K b a K b、“x。 “Fb 式 中 : F b边界点 作用 在上部子结 构的力向量 。 M 、b 上部子结构边界点的质量矩阵 。 由于采用 了离散质量模型 , 故M 、 是 零矩 阵 。 由(1 4)式 , 得 F b= L T M a 。 Lx b + L , 机 a x + K b。 L x b + K obxb (25) 由力的连续条件和位移协调条件 : R x。 率 导 (M p +L T 叽 。 L)x p + (凡 =一 凡 = xp + 丫: (1 6) (1 7) + K b。 L+ 凡 b )x , + L M a 。 x =一 (M p +L , M a 。 L)x 。一 (K ba L+K h、 )x : (1 8) 令 M p 式 K : 二 M p +L T M a 。 L = K p +K 。 L+K bh = K b。 L+K o b 则(18)式可以写成 万 p x p + K p x , + L T M a 。 x 将 (19) 式与 (13) 式的第二 式写成一个式子 , 得 叽 劣: 一 K : x : (19) 产.J e e ,IJ 、 、 J 、 J a .p X脚X 尹J,、r 飞 r 性J.件, J Ma a M o a L L T M a 。 M a 。 L 叽 M p + ! K 。 o LoK p x a xp : 二 r o , 1 x : 一 1 ! x : L K , “ (2 0) 一 l e e 月 一 第e期屈铁军等 : 长大桥梁结构按多点输人的竖 向地震反 应分析 105 在式(20)中 , 由于系数矩阵中含有动态复刚度因素 , 随 激振频率而变化 , 所以解 方 程 时必须在频域内求解 。 将(20)式做傅立叶变换 , 得 M 。: L T M a M 二 : L a M p : :几 “ 岌 ) 易 广l e e 卜 2 印 一 / 叮了. . 、 rM二 L, : : 、 ol r一、 = 一 !tx : 少一1 !飞 x:少 L 凡 “ L K J (21) 式中带 “, ” 的量表示随频率而变 。 在实际计算时 , 只取各子结构的前 m 个振型 , 就可以得 到足够的精度 。 在 上部子 结构中 , 令 x = 必 。、二 夕 m 其中 : 必 n:。 上部子结构前 m 个振型矩阵 ; 扎广义位移; , 上部子结构的自由度数 。 则整个体系的相对位移为 x = 必 一 。 1 “ 口 xp L - 0 I J xp r 必 Tm (2 2) 将(22 )式两端做傅立叶变换 , 代人( 2 1)式 , 并前乘 0 x。 0 , , 利用振型的正交 I “ 性 , 得 、 直. . . ,了 、f 、f 八 y m 介 了 了. . . . 、 、 、 、 、 、. . . 夕 了 , 一1. . . . . . . .J 、J一 日 J.k ,. .J. . . m K 。 K K p 川 的 r . e ee s 胜J + l . . .e s e se s J M屯 _ , M芝 、 _ 卜 , 一 M二 L 卫 .J L T Ma a 必 。:m 叽 尸 ! ! ! ! L 2 口 一 J 了 了. . .、 、 必 T口、。 M a 。 L 尿 r 0、 x : 一 ! ! x : K , J (23) 注 从 式中 : M : 、 K i、 K Z 二 材 口 上部子结 构 的广义质量 ; K . 上部子结构的广 义 刚度 。 令 M l 刁 K , 二 =一 叫 ”气 _ _ 卜 ! 兀 、 LM m L K列 S p, = 一。2 M p +K p S p = 一。2 必 丁二 : M a 。 L 106 东北林业 大学第1 7卷 M a= 必 T。 :。 M a: L 从S的表达 式 中可 以看出 , 式可以写成 S是 对角阵 , 其逆阵很容易求得 , 用S少 一 表示。 则( 2 3 ) =一 S 一 Ma 男 。 一 S 一 又x p p 一 凡 , S 一 S p )介 = (S p T 夕 一 Ma 一 叽 )x : 一 K : x : (23) 、卫 ,矛 企 夕 尸 ! 、 广JL11、 了 . ,悦 . 口 L (24 )式 的第二式是 只含有未知数基础位移x p 的 频域方 程 , 求得 xp 后代 人( 2 4 )式 三 . ” “ ” ” , 1 7令 了T 下飞币, 斗“监一竺一 曰竺一一 的第一式求得佃 。 通过傅立叶逆变换 , 代人 (22 ) 式得到整个结构的时域位移 。 节点位移求出后代人 单元刚度矩阵 , 得到 结构的内力 。 地震 波的传播方 向 3 算例 图6算例简图 跨长 6 0m , 输人 193 5 年的 H elen a 图 6 是三跨连续桥 梁的计算简图 , 每 竖向 地震加速度和 地震加速度积分求得的地震位移 (见图7和图8) 。 地震 加速度的最 大值 为 200 cm 邝 “。 从结 构中任意选 出一个单元 , 其内力最 大值的计算结果 见表 1 。 八 飞声三 洲 、 州蕊 t(5) 图7 He l e na 竖向地 震加速度 乙攀一 月1,肠凸 , 乃月 公 泊 图8 He l e na 竖向地 震位 移 第 6 期 屈铁军等 : 4 结论 长大桥梁结 构按多点输人的竖 向地震 反应分析 10 7 表 1 计算结 果 表 内力最 大 值(KN m) 4 . 1 在刚性地基假定(不考虑相互 作用)的条件下 , 按多点输人 计算得到 的内力小于同时同位相输人计算得到 的 内力 。 这是由于采用 刚性地基模型 , 忽 多点输入的拟静态弯矩 多点 输入的 动态弯矩 同时同位相输入 的弯矩 土土与 结构的相 互作 用情 况况 不不 考虑 考 虑虑 弓 . 0x1043 . 4又 104 略了由于地基变形 而带来的各基 础间的相对位移所造成 的 。 拟静态内力约占结构的动态 内力的1 5% 。 4 . 2 考虑相互作用按 多点 输人得到 的动态弯 矩仍小 于按 同时同位相输人计算得到 的 弯矩 。 但由于考虑 了土与 结构的相互作用后 , 基 础间 的相对位移增人 , 拟静 态弯矩显 著 增大 , 所以按多点输人计算所得到 的总弯 矩值大 于同时 同位相输 人的 弯矩 。 拟静态内力 与动态内力在 同一数量级上 , 十分重要 。 4 . 3 竖向地 震力产 生的内力超过了因桥梁结 构 自重所产生的内力 , 因此在桥梁 的抗震 设计 中 , 应做竖向地震 反应验算 。 4 . 4 多点输人 与 同时 同位相输人 不同 , 不仅要输人 地震 的加 速度 , 而且要输人 地 震 位移 。 这就要求地震 观测时 记录地震 加速度的同时 , 要记录地震位移 。 地震位 移与地震 加速度同样重要 。 4 . 5 土与结构的相互作用对地震反应影响很 大 , 在 长大桥 梁 的抗震分 析时 , 建 议 采 用土与 结构的相互作用计算模型 , 按同时 同位相输人 的 同时 , 还应 按多点输人计算 。 参考 文献 :; 王前信 , 伍国躺 . 拱式结构对地 震多支点输入 的反应 . 地震 工 程 与工 程振 动 , 19 84 , 4(2 ) 土岐意三 , 久保田胜 . 多点异入力 奋今付乙长 大桥梁O 非线形地震应答 . 第五回日本 地震 工 学 三夕术,亡 人 , 1 97 8 王贻荪 , 王可成 , 贺台琼 . 矩 形基础竖向振动分析 . 土 木 工程 学 报 , 1 98 1 , 1 4 (2) 王贻荪 , 王可成 , 贺台琼 . 回心位移影响函数 法 及其在 基 础振动 中的应 用 . 土木工 程学 报 , 1 981 , 1 4(l ) 王粗礼 . 行进 波对 结构地 震反应 的影响 . 华东水利学院 学报 , 1983 , (l ) 钱培风等 . 烟囱在地 震作用下的纵波应力 . 力学 学 报 , 197 8 , (2) 苏文藻译 , 何度心校 . 多支点激振引起的桥梁反应 . 国外地震 工 程 , 1 98 4 , (5) 山田善一 , 竹宫宏和 , 河野健二等 . 动 态 相互作 用全考虑匕赶多点入力系高 桥脚桥O 地震应 答解析 . 土木 学会 论文报告集 , 第 3 2 8 号 , 19 8 ? 年1 2月 王开顺 等 . 上与结构相互作用地震 反应分析 . 甲国建 筑 科 学研究院建筑情 报研究所建筑工 程情 报资料第 3 9 34号 , l。了9 年 1 2 月 Takem iyaH . and K . 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