考虑桥墩及支座影响的梁桥竖向地震反应分析

第 29 卷第 10 期 Vol.29 No.10 工 程 力 学 2012 年 10 月 Oct. 2012 ENGINEERING MECHANICS 232 收稿日期：2011-02-21；修改日期：2011-05-22 基金项目：地震行业科研专项经费项目(200808081)；江苏省高校自然科学研究重大项目(10KJA560012) 通讯作者：孙广俊(1979)，男，南京人，讲师，博士，主要从事建筑与桥梁抗震研究(E-mail: ). 作者简介：李鸿晶(1966)，男，哈尔滨人，教授，博士，副院长，主要从事生命线工程抗震研究(E-mail: )； 王 通(1981)，男，山东济宁人，博士生，主要从事建筑与桥梁抗震研究(E-mail: ). 文章编号：1000-4750(2012)10-0232-07 考虑桥墩及支座影响的梁桥竖向地震反应分析 孙广俊 1，李鸿晶1，王 通2 (1. 南京工业大学土木工程学院，南京 210009；2. 同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092) 摘 要：将桥墩和支座简化为竖向串联弹簧系统，考虑桥墩及支座轴向变形的影响，建立了竖向地震作用下梁桥 动力分析模型。考虑边界条件，采用微分求积法对桥梁连续模型进行空间离散，将其转化为多自由度体系，采用 逐步积分数值方法求解多自由度体系在竖向地震动下的反应。在此基础上，通过算例数值分析，研究了空间离散 点数量、桥墩及支座轴向效应对桥梁竖向动力反应的影响；分析了不同外部激励下，桥墩及支座轴向刚度变化对 桥梁竖向动力反应的影响。研究表明：不考虑桥墩及支座影响时，空间离散点数量对计算收敛性及计算结果影响 很小；考虑桥墩及支座影响时，空间离散点数量对计算收敛性影响很大。不同外部激励下，桥墩及支座对梁桥反 应的作用不同，需要根据地震地面运动的频谱特性来判断。 关键词：桥梁；地震反应；微分求积法；逐步积分；桥墩；支座；轴向变形 中图分类号：U448 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2011.02.0079 VERTICAL EARTHQUAKE RESPONSE ANALYSIS OF GIRDER BRIDGES CONSIDERING INFLUENCE OF PIERS AND SUPPORTS SUN Guang-jun1 , LI Hong-jing1 , WANG Tong2 (1. College of Civil Engineering, Nanjing University of Technology, Nanjing 210009, China; 2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China) Abstract: The piers and supports are simplified as a vertical series spring system and the vertical dynamic analysis model of the girder bridge considering effects of axial deformation of piers and supports is established. Considering the boundary conditions, the differential quadrature method (DQM) is applied to discretize the continuous model of the bridge to a MDOF (multi-degree-of-system) system in spatial domain. Then the responses of the MDOF system are calculated by step-by-step integration method. In addition, effects of discrete point number of spatial domain and axial deformation of piers and supports to vertical dynamic responses of bridge are studied, and the effect of stiffness of piers and supports to bridge seismic response is analyzed due to different external excitations. The research found the effects of discrete point number of spatial domain to calculation convergence and results are very small without considering the influence of piers and supports, but the effects of discrete point number of spatial domain have an enormous influence on calculation convergence with considering the effect of piers and supports. For different external exactions, the effects of piers and supports to dynamic response of bridge are different and the effects depend on the spectrum characteristic of earthquake-induced ground motion. Key words: bridge; earthquake response; differential quadrature method; step-by-step integration; pier; support; axial deformation 工 程 力 学 233 震害现象表明，高烈度区的竖向地震作用对桥 梁的影响是不容忽视的， 如1989年美国Loma Prieta 地震、1994 年美国 Northridge 地震和 1999 年台湾 Chi-chi 地震，断层附近都产生了较强的竖向地震 动。竖向地震动会放大梁体的跨中弯矩和端部剪力 作用，引发桥墩超负荷轴力，导致桥梁破坏1。实 际桥梁一般是通过支座和桥墩或仅通过桥墩支撑 在地面上，桥墩与支座就成了桥梁抵抗地震作用的 一个重要构件，研究竖向地震动下桥梁的动力反应 必须要考虑桥墩及支座的作用。针对竖向地震作用 下桥梁结构的动力反应，国内外学者已作过不少研 究工作，获得了一定的成果。张显明等2采用非线 性三维空间梁单元建立了桥墩的有限元模型，选用 了三组不同类型的地震记录作为输入，研究了近场 竖向地震动对钢筋混凝土铁路简支梁桥的影响，分 析发现，一旦水平地震动致使桥墩进入非线性阶 段，竖向地震动对结构反应的影响就非常显著，尤 其是因P- 效应的影响会使桥墩的墩顶位移显著增 加。王常峰等3利用支座接触摩擦单元模拟竖向地 震动在桥梁结构地震反应中的作用，通过算例讨论 了竖向地震动对不同支座摩擦系数和不同墩径的 桥梁的抗震性能的影响以及竖向地震动激励方向 对分析结果的影响。研究表明，竖向地震动对支座 剪力及竖向反应有较大影响； Warn 等4通过地震仿 真试验研究了竖向地震动对桥梁隔震系统的作用。 研究发现，隔震系统的竖向变形在设计中是不能忽 略的；Papazoglou 等1列举了竖向地震动引发桥梁 破坏的众多实例，分析表明，强烈竖向地震动引发 的桥墩超负荷轴力是桥梁破坏的重要原因之一。 以往研究大部分采用以有限元法为主的数值 方法和模型试验两种途经来研究竖向地震动对桥 梁结构的影响。 本文将桥墩和支座简化为竖向弹簧，基于小位 移假设，建立了梁桥竖向地震反应分析模型。根据 边界条件，采用微分求积法进行了连续体模型离 散，基于逐步积分法获得了离散后多自由度体系的 地震反应，讨论了离散点数量及简化弹簧刚度对数 值分析的影响，并基于不同激励研究了简化弹簧刚 度对结构反应的影响。本文的研究思路不同于以往 的研究方法，目的是探求一种桥梁地震响应分析的 新的途径，并在此基础上研究桥墩与支座对简支梁 桥和连续梁桥竖向地震反应的影响。 1 竖向地震动下梁桥动力模型 本文对竖向地震动下连续梁桥的反应分析采 用如图 1 所示的简化模型。 (a) 梁桥简图 (b) 分析模型 图 1 连续直梁桥简化分析模型 Fig.1 Simplified analysis model of continuous straight girder bridge 针对本文的研究对象和研究内容，图 1 所示模 型采用下述基本假定： 1) 由于仅研究竖向地震动作用下的桥梁反应， 暂不考虑水平地震动的耦合影响。 2) 由于一般梁桥的长细比都比较大， 剪切变形 及转动惯量对桥梁反应的影响很小，忽略这 2 个因 素的影响。 3) 梁桥的长度一般比较小，行波效应不明显， 采用一致地震动输入。 4) 一般公路桥梁， 桥墩及支座质量远小于梁体 质量，忽略桥墩及支座质量，假设桥墩和支座均为 无质量的弹性杆。 5) 假设梁体为等截面形式， 且截面形心与剪心 重合。 6) 忽略土-结相互作用。 7) 结构反应满足小位移假设。 图 1 中，x 轴为梁体形心轴；y(x,t)和 v(x,t)分别 为梁体截面相对 x 轴的竖向位移和竖向绝对位移， 且由于结构反应满足小位移假设， y(x,t)和 v(x,t)的方 向可以始终认为是竖直向下的；vg,i(t)为第 i 个桥墩 处地面竖向位移；ki为第 i 个支撑处由桥墩和支座 串联而成的等效弹簧刚度，可以表示为： ipis i ipis k k k kk ， i =1, 2, , m (1) 式中，kip和 kis分别为桥墩和支座的竖向刚度。 连续梁桥的各跨振动是耦联的，为方便讨论， 本文重点研究单跨简支梁桥的竖向地震反应，而由 vg,2(t) k1 y(x,t) vg,1(t) k2v(x,t) ki vg,i(t) km x vg,m(t) BA 支座 桥墩 234 工 程 力 学 单跨过渡到多跨的问题可以通过已有的方法解决， 如微分求积单元法。 取图 1 中的 AB 跨简支梁桥为研究对象，如 图 2 所示，m、EI、L 分别为梁体的分布质量，竖 向弯曲刚度和长度；实线 AB 为梁体初始状态；实 线A B 为由两端弹簧变形引起的梁体刚体位移后 的状态；虚线A B 为梁体变形后的状态；yg(x,t)为 梁体竖向刚体位移；y(x,t)梁体相对于 x 轴的竖向 位移。 图 2 单跨简支梁桥简化分析模型 Fig.2 Simplified analysis model of single span simply support girder bridge 根据图 2 所示梁体变形，可以得到： g ( , )( , )( , )v x tyx ty x t (2) g( , ) (0, ) ( , )(0, ) x yx tvtv L tvt L (3) 图 2 中，梁体两端的剪力要与弹簧内力保持平 衡，满足： 1g,1 2g,2 (0, )( ) ( , )( ) A B k vtvtQ k v L tvtQ (4) 式中： 3 3 0 (0, ) A x y QEIEIyt x (5) 3 3 ( , ) B x L y QEIEIyL t x (6) 由梁体两端剪力与弹簧内力的平衡条件， 可得： g,1 1 g,2 2 (0, ) (0, )( ) ( , ) ( , )( ) EIyt vtvt k EIyL t v L tvt k (7) 联立式(7)、式(3)和式(2)，可以得到： g,1g,2 ( , )( , )1( )( ) xx v x ty x tvtvt LL 12 1(0, )( , ) EIxEIx ytyL t kLk L (8) 此外，考虑内外阻尼的影响，图 2 所示直梁的 固有振动方程可以表示为5： 254 244 ( , )( , )( , )( , ) 0 v x ty x ty x ty x t mcbEI ttxtx (9) 式中，c 和 b 分别为外阻尼系数和内阻尼系数。 将式(8)代入式(9)，并采用一致地震动输入假 设， 令 g,1g,2g ( )( )( )vtvtv t， 可得竖向地震动作用 下直梁桥动力方程： 12 ( , )1(0, )( , ) mEIxmEIx my x tytyL t kLk L g ( , )( , )( , )( )cy x tbyx tEIyx tmv t (10) 式中：“”和“”分别表示对 x 求导和对 t 求导； 如果不考虑桥墩和支座的影响， 只需令 1 1/k和 2 1/k 等于零。 对于梁两端为简支约束的情况， 式(9)的边界条 件可以表示为： (0, )0yt ，( , )0y L t (11) (0, )0yt，( , )0y L t (12) 初始条件可以表示为： 0 ( ,0)( )y xyx， 0 ( ,0)( )y xvx (13) 2 连续体模型的微分求积离散 微分求积法作为一种高效的数值算法首先是 由 Bellman 和 Casti6于 1971 年提出的，该方法将 函数在给定网点处的导数值近似用该导数自变量 方向上全部网点处函数值的加权和表示，具有数学 概念简单、精度高和计算时间少等优点，是一种不 断受到重视的数值方法7。下面将采用微分求积法 对直梁桥进行竖向地震响应分析。 由于式(8)所示的动力方程比较复杂， 同时进行 时空离散较为困难，本文采取先空间离散后时间离 散的方法，即首先考虑边值条件，把无限自由度系 统离散为多自由度系统，然后在时间域内进行逐步 积分来求解系统的地震反应。 引入相对坐标/x L，式(10)可以改写为无 量纲形式： 33 12 (, )(1)(0, )( , ) mEImEI my LtytyL t k Lk L g,1 44 (, )(, )(, )( ) bEI cy LtyLtyLtmvt LL (14) 式中： “”表示对 求偏导； “”表示对 t 求偏导。 在空间域中， 将 离散为 n 个点， 即 1=0, 1, , i, , n1, n=1，根据微分求积原理有6 9： Bm, EI, L A v(0,t) yg(x,t) A v(x,t) B v(L,t) x y(x,t) 工 程 力 学 235 yAy (15) 式中： T 12 , , n y yyy，(, ) ii yy Lt；y为 y 对 的一阶导数；A 为与空间对应的一阶权系数矩 阵，可以表示为： 111 1 n nnn aa aa A 考虑边值条件式(11)，式(15)转化为： 1 yAY (16) 式中： 121,1 1 ,2,1 n nn n aa aa A ； T 21 , n yy Y 另有， 1 YGY (17) 式中： 222,1 1 1,21,1 n nnn aa aa G 同理，可以得到： 12 yAyAAYA Y (18) 12 YHAYG Y (19) 式中： 212 1,11, n nnn aa aa H 考虑边值条件式(12)，由微分求积原理可得： 1123 yAyAYAG YAY (20) 123 YG G YG Y (21) 同理，可以得到： 34 yAyAAYA Y (22) 34 YHAYG Y (23) 由式(20)可以得到： 15 (0, )ytyG Y (24) 6 ( , ) n yL tyG Y (25) 式中： 512131,12 , n aaa GG； 623,12 , nnn n aaa GG。 由式(23)式(25)，式(14)可以离散为： g,1( ) vtMYCYKYP (26) 式中： 56 33 12 () mmvv mEImEI m k Lk L MIIX I GXI G； 4 4 m b c L CIG； 4 4 EI L KG； v m PI。 其中： Iv为(n2)维指标向量； Im为(n2)维单位矩阵； X 为(n2)维对角矩阵， 22 dig, n X。 至此， 通过微分求积离散， 式(10)和式(14)所示 的无限自由度直梁桥模型转化为式(26)所示的有限 自由度体系，可以采用传统的数值积分法进行 求解。 上面分析了单跨简支梁桥竖向地震反应，而由 单跨梁桥向连续梁桥过渡遇到的主要困难是内部 边界问题，针对该问题可以采用微分求积单元法来 解决：首先在内部边界点处断开，将连续梁桥进行 单元离散，然后分别对各单元进行微分求积离散， 再根据单元间的变形协调和内力平衡条件将各单 元整合，从而把连续梁离散成多自由度体系，最后 采用逐步积分法求解结构的地震反应，具体实施步 骤可以参见相关文献9 10， 限于篇幅这里不再赘述。 3 数值分析及讨论 采用本文建立的方法，基于 MATLAB 平台编 制相应的计算程序，以一单跨简支梁桥为例进行数 值分析。结构的基本参数如表 1 所示，从 PEER 强 震数据库中选取 6 条竖向强震记录作为结构输入， 分别列于表 2 中。 表 1 桥梁结构基本参数 Table 1 Parameters of bridge structure m/(kg/m) EI/(Nm2) L/(m) k1/(N/m) k2/(N/m) c/(Ns/m) b/(Nsm3) 310411010 3051085108 1102 1108 注：c 和 b 的确定实际上是一个很复杂的工作，表中所给 c 与 b 的 数值是由经验估算所得；另外 k1、k2的数值是根据实际工程估 算所得， 这个数值不能过小， 否则计算发散， 详细讨论见下文。 表 2 竖向地震动输入 Table 2 Inputs of vertical earthquake motion 编号时间 地震名称 站台 持时/s 采样间隔/s E-1 1979/10/15 Imperial Valley 5056 El Centro Array #1 110.005 E-2 1941/10/03 Northern Calif 1023 Ferndale City Hall 400.005 E-3 1999/9/20Chi-Chi Als 590.005 E-4 1940/5/19 Imperial Valley 117 El Centro Array #9 400.01 E-51971/2/9San Fernando 135 LA-Hollywood Stor Lot 280.01 E-6 1994/1/17Northridge 25340 Ventura-Harbor & California 650.02 236 工 程 力 学 为了验证本文方法的合理性和所编制程序的 可信性， 采用通用有限元软件 SAP2000 对本文编制 的计算程序进行验证，地震记录选用 E-4(1940 年 EL Centro 记录)，不考虑阻尼作用，其他结构参数 按表 1 选取， 结果比较如图 3 所示， 两者符合较好。 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0510152025303540 时间/s 中点反应/m 有限元编程 图 3 有限元软件和编程计算结果比较 Fig.3 Calculated result comparison of finite element software and computer program 首先，不考虑桥墩及支座的作用，令 k1=k2=， 研究空间离散点数量 n 对桥梁竖向地震反应的影 响。本文不针对空间离散的节点形式进行讨论，统 一采用 Chebyshev-Gauss-Lobatto 节点11，仅改变 n 的大小，采用 Newmark- 法计算结构的反应，算得 的直梁桥跨中反应如图 4 所示。 由图 4 可以看出，在不考虑桥墩及支座影响的 情况下，n=3 时的桥梁跨中反应和 n3 时的桥梁跨 中反应差别较大；而当 n3 时，桥梁跨中反应差别 较小，在图 4 中表现为曲线基本重合在一起。在不 考虑桥墩及支座影响的情况下，将各地震波作用下 n3 时的桥梁跨中反应同时除以 n=3 时的桥梁跨中 反应，进行单位归一化处理，空间离散点数 n 的取 值对峰值反应计算结果的影响如图 5 所示。 (a) E-1 (b) E-2 (c) E-3 (d) E-4 (e) E-5 (f) E-6 图 4 不考虑桥墩及支座影响时桥梁跨中反应 Fig.4 Response of mid-span of bridge without considering piers and supports effects 图5 不考虑桥墩及支座影响时桥梁跨中峰值反应与n关系 Fig.5 Relation of the maximum response of mid-span of bridge with n without considering piers and supports effects 由图 5 可以看出，随着 n 值的增大，峰值反应 的偏差逐步减小，当 n 取值大于 5 以后，空间离散 -0.0015 -0.0005 0.0005 0.0015 中点反应/m n=3n=5n=13 012345678910 时间/s n=3 n=5 n=13 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 中点反应/m n=3n=5n=13 010203040 时间/s n=3 n=5 n=13 0.010 -0.010 01020304050 时间/s -0.08 -0.04 0 0.04 0.08 中点反应/m n=3n=5n=13 n=3 n=5 n=13 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 中点反应/m 010203040 时间/s n=3n=5n=13 n=3n=5 n=13 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 中点反应/m 01020 时间/s n=3n=5n=13n=3 n=5 n=13 n=3n=5n=13 0102030405060 时间/s -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 中点反应/m n=3n=5 n=13 0.5 1.0 1.5 2.0 中点峰值反应比值 E-1E-2E-3E-4E-5E-6 345678910111213 空间离散点数 工 程 力 学 237 点数对计算精度的影响很小，计算结果的精度显著 提高，且反应趋于稳定。因此，在实际应用中，根 据需要可以把空间点数取得尽可能的少些。 其次，考虑桥墩及支座的影响，令 k1=k2= 5108N/m，令 n=5，算得桥梁跨中竖向位移反应如 图 6 所示。为方便对比，图中还给出了未考虑桥墩 及支座影响结果，两种情况下的桥梁跨中峰值反应 如表 3 所示。 -0.0015 -0.0005 0.0005 0.0015 012345678910 时间/s 中点反应/m 不考虑竖向支承考虑竖向支承 (a) E-1 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0510152025303540 时间/s 中点反应/m 不考虑竖向支承考虑竖向支承 (b) E-2 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0510152025303540455055 时间/s 中点反应/m 不考虑竖向支承考虑竖向支承 (c) E-3 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0510152025303540 时间/s 中点反应/m 不考虑竖向支承考虑竖向支承 (d) E-4 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0510152025 时间/s 中点反应/m 不考虑竖向支承考虑竖向支承 (e) E-5 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 05101520253035404550556065 时间/s 中点反应/m 不考虑竖向支承考虑竖向支承 (f) E-6 图 6 考虑桥墩及支座影响时桥梁跨中反应 Fig.6 Response of mid-span of bridge considering piers and supports effects 表 3 两种情况下桥梁跨中峰值反应比较 Table 3 Comparison of the maximum responses of mid-span of bridge in two conditions 跨中反应峰值/m 地震动 地震动 峰值/(m/s2) 不考虑 桥墩及支座影响 考虑 桥墩及支座影响 变化率/(%) E-1 0.27453 0.0010097 0.0010451 3.51 E-2 0.37931 0.010365 0.010931 5.46 E-3 0.73107 0.04346 0.039946 8.09 E-4 1.51 0.024273 0.027178 11.97 E-5 1.3592 0.018378 0.017511 4.72 E-6 0.252 0.019192 0.018259 4.87 由图 6 和表 3 的结果可以看出，考虑桥墩及支 座影响后，结构反应有所变化，E-1、E-2 和 E-4 地 震作用下跨中峰值反应放大，E-3、E-5 和 E-6 地震 作用下跨中峰值反应减小。此外，E-4 和 E-5 地震 波的峰值比其它地震波的峰值高出几倍，但算得的 结构反应却接近甚至小于其它地震波下的结构 反应。 此外， 数值分析表明， 当 k1和 k2按表 1 取值时， 若 n 的取值大于某个值， 计算结果会产生发散现象。 但是，随着 k1和 k2的增大，n 可以取值很大后才开 始发散。以 E4 地震作用为例，令 k1=k2=k，改变 k 和 n 的取值，算得结果如表 4 所示。 由表 4 结果可以看出，在考虑桥墩及支座的影 响情况下，k 和 n 对数值计算的收敛性影响很大。 当 k11 备注：“”表示计算发散。 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 3.00E+08 8.00E+08 1.30E+09 1.80E+09 2.30E+09 2.80E+09 3.30E+09 刚度/N*m 中点峰值反应比值 E-1E-2E-3E-4E-5E-6 图 7 桥墩及支座刚度对桥梁跨中峰值反应的影响 Fig.7 Effect of stiffness of piers and supports on the maximum response of mid-span of bridge 由图 7 可以看出，外部激励不同，桥梁支承处 的竖向弹簧影响效应也不同，可能放大反应，也可 能减小反应，这一结论和表 3 的结果是一致的。根 据结构动力学原理，这一结果是合理的：对于给定 的一条地震波，其频谱特性是一定的，而考虑弹簧 刚度变化后，桥梁结构的特性将发生改变，从而必 然使得桥梁的跨中反应发生改变，可能增大也可能 减小，这主要取决于地震地面运动加速度的频谱特 性和结构的动力特性。 通过上述分析可知，桥梁通过支座连接于桥 墩，支座不一定都有隔震作用，桥墩及支座对上部 结构的影响还与地震动因素有关，需要根据地震地 面运动的频谱特性而定。 4 结论 本文建立了竖向地震动下考虑桥墩及支座轴 向变形的直梁桥动力模型，基于微分求积法和逐步 积分法实现了连续体模型的离散化和竖向地震反 应的求解。通过数值分析研究了空间离散点数量及 简化弹簧刚度对桥梁地震反应的影响，讨论了简化 弹簧刚度对结构地震反应的作用，得到如下结论： (1) 将桥梁支撑处的桥墩及支座简化为弹簧， 采用串联弹簧系统的等效刚度模拟轴向支撑作用， 可以考虑竖向地震动下桥墩及支座轴向变形对桥 梁反应的影响，从模型上实现了对结构的简化。 (2) 采用微求积法从数学上对偏微分动力方程 进行简化，可以将无限自由度模型离散为有限自由 度模型，以方便采用传统的时域逐步积分法计算结 构动力反应的数值解。 (3) 不考虑简化弹簧作用时，空间离散点数量 对计算收敛性及计算结果的影响很小；考虑简化弹 簧作用时，空间离散点数量对计算收敛性影响很 大，随着弹簧刚度的增大，可使结果收敛的离散点 数量取值增多，且计算结果也越趋稳定。 (4) 不同外部激励作用下，简化弹簧对结构反 应的作用不同，需要根据地震地面运动的频谱特性 来判断，并可据此决定是否采用支座连接梁体与桥 墩以减小地震作用，或者通过改变支座轴向刚度来 提高竖向抗震能力。 参考文献： 1 Papazoglou A J, Eleashi A S. Analytical and field evidence of the damaging effect of vertical earthquake ground motion J. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1996, 25(10): 11091137. 2 张显明, 朱唏. 近场竖向地震动对铁路桥梁地震反应 的影响J. 华北科技学院学报, 2005, 2(4): 3033. Zhang Xianming, Zhu Xi. Influence of vertical component of near-fault ground motions on seismic response of RC railway bridges J. Journal of North China Institute of Science and Technology, 2005, 2(4): 3033. (in Chinese) (参考文献311转第 256 页) E-3E-4 E-5 E-6E-2 E-1 3.00108 刚度/(Nm) 8.00108 1.30109 1.80109 2.30109 2.801093.30109 256 工 程 力 学 形单元J. 塑性工程学报, 2009, 16(4): 2934. Zhang Zhengrong, Zhang Xiangwei, Lv Wenge. 16-node manifold element for thin plate-bending analysis J. Journal of Plasticity Engineering, 2009, 16(4): 2934. (in Chinese) 7 骆少明, 温伟斌, 成思源, 章争荣. 基于三角网格多节 点覆盖的数值流形方法J. 塑性工程学报, 2010, 17(6): 131135. Luo Shaoming, Wen Weibin, Chen Siyuan, Zhang Zhengrong. A new triangular element of numerical manifold method J. Journal of Plasticity Engineering, 2010, 17(6): 131135. (in Chinese) 8 Ghosh S, Moorthy S. Elastic-plastic analysis of arbitrary heterogeneous materials with the voronoi cell finite element method J. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1995, 121: 373409. 9 王兆清, 冯伟. Delaunay 多边形单元的有理函数插值 格式J. 力学季刊, 2004, 25(3): 375381. Wang Zhaoqing, Feng Wei. Rational function interpolation scheme of Delaunay polygonal element J. Chinese Quarterly of Mechanics, 2004, 25(3): 375381. (in Chinese) 10 Nguyen-Thoi T, Liu G R, Nguyen-Xuan H. An n-sided polygonal edge-based smoothed finite element method (Nes-FEM) for solid mechanics J. International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 2011, 27: 14461472. 11 Sukumar N, Tabarraei A. Conforming polygonal finite elements J. International Journal for Numerical Method in Engineering, 2004, 61: 20452066. 12 Wachspress E L. A rational finite element basis M. New York: Academic Press Inc, 1975: 37. 13 Meyer M, Lee H, Barr A H, et al. Generalized barycentric coordinate on irregular polygons J. Journal of Graphics Tools, 2002, 7(1): 1322. 14 王兆清, 李淑萍. 多边形有限单元形函数的比较研究 J. 应用力学学报, 2007, 24(4): 604608. Wang Zhaoqing, Li Shuping. Some remarks on shape functions of polygonal finite element J. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2007, 24(4): 604608. (in Chinese) 15 蔡永昌, 郭盛勇, 杨建, 朱合华. 多边形单元的构造新 方法与实现J. 同济大学学报, 2009, 37(7): 883887. Cai Yongchang, Guo Shengyong, Yang Jian, Zhu Hehua. A new construction and implementation of polygonal elements J. Journal of Tongji University, 2009, 37(7): 883887. (in Chinese) 16 王勖成. 有限单元法基本原理和数值方法M. 北京: 清华大学出版社, 1999: 134135. Wang Xucheng. Basic principle of the FEM and numerical method M. Beijing: Tsinghua University Press, 1999: 134135. (in Chinese) (上接第 238 页) 3 王常峰, 陈兴冲. 竖向地震动对桥梁结构地震反应的 影响J. 振动与冲击, 2007, 26(6): 3135. Wang Changfeng, Chen Xingchong. Effec