材料力学第二章杆件的拉伸与压缩.ppt

1,2 杆件的拉伸与压缩,2,2 杆件的拉伸与压缩,2.1 轴向拉伸和压缩的概念,2.2 用截面法计算拉压杆的内力,2.3 横截面及斜截面上的应力,2.4 虎克定律,目录,2.5 拉压杆的应变能,2.6 材料在拉伸与压缩时的力学性质,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,2.8 拉、压超静定问题,3,2.1 轴向拉伸和压缩的概念,在一对方向相反、作用线与杆轴重合的外力作用下，杆件将发生长度的改变。,轴向拉伸或轴向压缩（Axial Tension）,4,2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力,1. 拉压杆内力的概念,内力由于物体受外力作用而引起的其内部各点发生相互移动，从而引起相邻部分间力图恢复原有形状而产生的相互作用力。,杆件在受到轴向拉力作用时，杆件内任何截面处截面两侧相连部分之间产生相互作用力，这就是杆件的拉伸内力，它保证截面两侧部分不被分开。,杆件在受到轴向压力作用时，杆件内部产生压缩内力。,5,2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力,2. 用截面法求轴力,（1）截,（3）代,（4）平,步骤：,（2）取,6,可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。,引起伸长变形的轴力为正拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负压力（指向截面）。,轴力的符号规定 (同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号) :,2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力,7,2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力,3. 轴力图,若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。,注意：,1.用截面法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。,2.截面不能刚好截在外力作用点处，因为在外力作用点处轴力发生突变，其值是一个不定值。,8,例1 求图示杆的轴力，并画轴力图。,解：（1）分段求轴力,（2）画轴力图,2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力,9,1.应力的概念,2.3 横截面及斜截面上的应力,在外力作用下，杆件内力在截面上某点分布内力的集度，称为该点的应力。,M,DA,M,平均应力,总应力,M点,10,2.3 横截面及斜截面上的应力,应力的特征：,（1）应力与指定点的位置有关。,（4）应力的量纲为ML-1T-2，应力的单位为N/m2或Pa。 即单位面积上的力。,（3）应力p是一个矢量，有大小、方向。,(2) 应力与过该点的截面的方位有关。,11,2.横截面上的应力,2.3 横截面及斜截面上的应力,等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。,原为平面的横截面在杆变形后仍为平面。,观察现象：,平面假设,12,2.3 横截面及斜截面上的应力,亦即横截面上各点处的正应力 都相等。,推论：,1.等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。,2.拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。,13,2.3 横截面及斜截面上的应力,等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式,即,拉应力为正，压应力为负。,14,2.3 横截面及斜截面上的应力,3.斜截面上的应力,由静力平衡得斜截面上的内力：,15,2.3 横截面及斜截面上的应力,变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。,推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。,即斜截面上各点处总应力相等。,16,2.3 横截面及斜截面上的应力,s0 为拉(压)杆横截面上( )的正应力。,17,2.3 横截面及斜截面上的应力,总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：,18,2.3 横截面及斜截面上的应力,通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，称为该点处的应力状态。,对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态。,19,2.3 横截面及斜截面上的应力,讨论：,（1）,（2）,（横截面）,（纵截面）,（纵截面）,（横截面）,（3）,轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。,轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。,在平行于杆轴线的截面上、均为零。,20,2.3 横截面及斜截面上的应力,4. 应力集中的概念,应力集中：,由于杆件横截面突然变化而引起的应力局部骤然增大的现象。,理论应力集中系数：,s0 截面突变的横截面上smax作用点处的名义应力；轴向拉压时为横截面上的平均应力。,21,2.4 虎克定律,1.拉(压)杆的变形与应变,杆件在轴向拉压时： 沿轴线方向产生伸长或缩短纵向变形,横向尺寸也相应地发生改变横向变形,22,2.4 虎克定律,（1）纵向变形,线应变:,单位长度的伸长（或缩短）,线应变以伸长时为正，缩短时为负。,23,2.4 虎克定律,（2）横向变形,横向线应变,泊松比,24,2.4 虎克定律,2. 虎克定律,实验表明：在材料的线弹性范围内，l与外力F和杆长l成正比，与横截面面积A成反比。,虎克定律,在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。,：抗拉（压）刚度,当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。,在计算l的l长度内，FN，E，A均为常数。,25,2.4 虎克定律,例2 一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2， BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。,解：,由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为,26,2.4 虎克定律,故,AC杆的总伸长,27,2.4 虎克定律,思考：,1. 上题中哪些量是变形，哪些量是位移？二者是否相等？,2. 若上题中B截面处也有一个轴向力作用如图，还有什么方法可以计算各截面处的位移？,28,2.4 虎克定律,例3 图示杆系，荷载 F=100kN, 求结点A的位移A。已知两杆均为长度l =2m，直径d =25mm的圆杆， =30，杆材(钢)的弹性模量E = 210GPa。,解：1、求两杆的轴力。,得,29,2.4 虎克定律,2由虎克定律得两杆的伸长：,根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。,3. 计算节点位移,30,2.4 虎克定律,此位置既应该符合两杆间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。,关键步骤如何确定杆系变形后结点A的位置？,A,A,31,2.4 虎克定律,即,由变形图即确定结点A的位移。由几何关系得,A,A,代入数值得,32,2.4 虎克定律,杆件几何尺寸的改变，标量,此例可以进一步加深对变形和位移两个概念的理解。,变形,位移,结点位置的移动，矢量,与各杆件间的约束有关，实际是变形的几何相容条件。,二者间的函数关系,33,2.5 拉(压)杆的应变能,应变能 : 伴随着弹性变形的增减而改变的能量,拉 (压）杆在线弹性范围内的应变能：,外力功：,杆内应变能：,34,2.5 拉(压)杆的应变能,比能,应变能密度单位：,杆件单位体积内的应变能,两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀分布的。,35,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,1. 材料的拉伸与压缩试验,试件：国家标准规定金属拉伸试验方法,L=10d L=5d,圆截面试样：,试验条件：常温；静载（极其缓慢地加载）,试验设备：万能试验机、变形仪,36,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,2. 低碳钢在拉伸时的力学性能,拉伸图：,37,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应力应变曲线图。,图中：,l 原始标距 线应变,38,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点：,(1)弹性阶段OB,此阶段试件变形完全是弹性的，且与成线性关系,E 线段OA的斜率,比例极限p 对应点A,弹性极限e 对应点B,39,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,(2) 屈服阶段BC,此阶段应变显著增加，但应力基本不变屈服现象。,产生的变形主要是塑性的。,抛光的试件表面上可见大约与轴线成45 的滑移线。,屈服极限 对应点D（屈服低限）,40,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,(3) 强化阶段CG,此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。,强度极限b 对应点G (拉伸强度)，最大名义应力,此阶段如要增加应变，必须增大应力,强化现象,41,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,强化阶段的卸载及再加载规律：,若在强化阶段卸载，则卸载过程 s-e 关系为直线。,立即再加载时，s-e关系起初基本上沿卸载直线(cb)上升直至当初卸载的荷载，然后沿卸载前的曲线断裂冷作硬化现象。,ee 弹性应变,ep 残余应变（塑性）,42,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,(4) 局部变形阶段GH,试件上出现急剧局部横截面收缩颈缩，直至试件断裂。,伸长率,断面收缩率：,A1 断口处最小横截面面积。,（平均塑性伸长率）,43,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,Q235钢的主要强度指标：,Q235钢的塑性指标：,Q235钢的弹性指标：,通常 的材料称为塑性材料；,的材料称为脆性材料。,44,思考：,1. 强度极限sb是否材料在拉伸过程中所承受的最大应力？,2. 试问在低碳钢试样的拉伸图上，试样被拉断时的应力为什么反而比强度极限低？,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,45,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,3. 其他材料在拉伸时的力学性能,锰钢没有屈服和局部变形阶段,强铝、退火球墨铸铁没有明显屈服阶段,共同点：,d 5%，属塑性材料,46,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,b,确定的方法是:,在轴上取0.2的点,对此点作平行于曲线的直线段的直线（斜率亦为E）,与曲线相交点对应的应力即为0.2 .,无屈服阶段的塑性材料，以s0.2作为其名义屈服极限。,s0.2,对应于ep=0.2%时的应力值,47,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,铸铁在拉伸时的s -e 曲线,特点： 1. s -e 曲线从很低应力水平开始就是曲线；采用割线弹性模量； 2.没有屈服、强化、局部变形阶段，只有唯一拉伸强度指标sb； 3.伸长率非常小，拉伸强度sb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。,典型的脆性材料,48,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,4. 材料在压缩时的力学性能,L/d(b): 13,国家标准规定金属压缩试验方法,（GB 731487),49,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,低碳钢压缩,特点： 1.低碳钢拉、压时的ss以及弹性模量E基本相同。 2.材料延展性很好，不会被压坏。,50,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,铸铁压缩,特点： 1. 压缩时的sb和d 均比拉伸时大得多，宜做受压构件； 2. 即使在较低应力下其s -e 也只近似符合虎克定律; 3.试件最终沿着与横截面大致成 50 55 的斜截面发生错动而破坏。,51,2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质,塑性材料和脆性材料的主要区别：,塑性材料的主要特点：,塑性指标较高，抗拉断和承受冲击能力较好，其强度指标主要是s，且拉压时具有同值。,脆性材料的主要特点：,塑性指标较低，抗拉能力远远低于抗压能力，其强度指标只有b。,52,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,材料的许用应力：,塑性材料:,脆性材料:,对应于拉、压强度的安全因数,极限应力su,ss 或sp0.2,sb,许用应力,n 1,53,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,关于安全因数的考虑：,（1）极限应力的差异； （2）构件横截面尺寸的变异； （3）荷载的变异； （4）计算简图与实际结构的差异； （5）考虑强度储备。,54,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,拉（压）杆的强度条件,保证拉（压）杆不因强度不足发生破坏的条件,对于等直杆：,强度计算的三种类型：,（1）强度校核,（2）截面选择,（3）计算许用荷载,55,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,例4 图示三铰屋架中，均布荷载的集度 q =4.2kN/m，钢拉杆直径 d =16mm，许用应力 s = 170MPa 。试校核拉杆的强度。,56,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,解：,1.求支反力,考虑结构的整体平衡并利用其对称性,57,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,取分离体如图并考虑其平衡,2.求钢拉杆的轴力。,58,3.求钢拉杆的应力并校核强度。,故钢拉杆的强度是满足要求的。,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,59,例5 图示三角架中，杆AB由两根10号工字钢组成，杆AC由两根 80mm 80mm7mm 的等边角钢组成。两杆的材料均为Q235钢，s =170MPa 。试求此结构的许可荷载 F 。,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,60,（1）节点 A 的受力如图，其平衡方程为：,解：,得,A,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,61,（2）查型钢表得两杆的面积,（3）由强度条件得两杆的许用轴力：,杆AC,杆AB,杆AC,杆AB,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,62,(4) 按每根杆的许可轴力求相应的许可荷载：,2.7 强度条件与截面设计的基本概念,63,2.8 拉、压超静定问题,(a),如图所示结构，支反力和轴力均可由平衡方程确定，这样的结构称为静定结构。,概念：,64,2.8 拉、压超静定问题,(b),为减小图a所示静定杆系杆1 ,2中的内力或节点A的位移而增加了杆3 (如图b) 。此时有三个未知内力，但只有二个独立的平衡方程，仅有两个条件尚不能确定上述三个轴力。,仅仅根据平衡方程尚不能完全确定全部未知力的结构称为超静定结构。,65,2.8 拉、压超静定问题,解题思路：,超静定结构,解除“多余”约束,基本静定系,(例如杆3与接点A的连接),66,2.8 拉、压超静定问题,在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力,并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件,相当系统,67,2.8 拉、压超静定问题,于是可求出多余未知力FN3 。,由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：,68,2.8 拉、压超静定问题,注意事项：,(1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。,(2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。,(3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。,(4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。,69,2.8 拉、压超静定问题,例6 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。,解: 1. 有两个未知约束力FA , FB【见图（a)】，但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0 故为一次超静定问题。,70,2.8 拉、压超静定问题,2. 取固定端B为