材料力学第八章-弯曲变形.ppt

,材 料 力 学,讲授:顾志荣,同济大学航空航天与力学学院 顾志荣,第八章 弯曲变形,材料力学,回 顾： 弯曲内力在外力作用下，梁的内力沿轴线 的变化规律。 弯曲应力在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。 本 章: 弯曲变形在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。,第八章 弯曲变形,研究弯曲变形的目的 （1）刚度计算； （2）解简单的超静定梁。 本章的基本内容： 一、弯曲变形的量度及符号规定； 二、挠曲线及其近似微分方程 三、计算弯曲变形的两种方法 (1)积分法(2)叠加法 四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施 五、用变形比较法解简单的超静定梁。,第八章 弯曲变形,一、弯曲变形的量度及符号规定,第八章 弯曲变形,梁的挠度和转角,1、度量弯曲变形的两个量： （1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移） （2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移称为转角。,第八章 弯曲变形 /一、弯曲变形的量度及符号规定,梁的挠度和转角,（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。,2、符号规定： （1）坐标系的建立： 坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。,（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。,W（-）,（-）,第八章 弯曲变形 /一、弯曲变形的量度及符号规定,第八章 弯曲变形,二、挠曲线及其近似微分方程,1、挠曲线： 在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。,M,弯曲后梁的轴线 （挠曲线）,第八章 弯曲变形 /二、挠曲线及其近似微分方程,MABMCD0,MBCconst,答案 D,2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1),2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2),FA0 FB0,MCDconst,答案 D,2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(3),FA0,MBDconst,FBP,答案C,力学公式,数学公式,横力弯曲 （ lh5）,3、挠曲线的近似微分方程,(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系,小挠度情形下,此即弹性曲线的小挠度微分方程,max（0.010.001）l ；,2,(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释,近似解释： （1）忽略了剪力的影响； （2）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。,2,2,(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程,第八章 弯曲变形,三、计算弯曲变形的两种方法,1、积分法基本方法 利用积分法求梁变形的一般步骤： （1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则:,凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；,凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；,中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次 对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 再积分一次，得挠曲线方程：,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数 积分常数的数目取决于的分段数 M (x) n 段 积分常数2n个 举例：,分2段，则积分常数2x2=4个,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,积分常数的确定边界条件和连续条件： 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。,边界条件 积分常数2n个=2n个 连续条件,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,边界条件：,连续条件：,例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。,解：边界条件：,连续条件：,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,积分常数的物理意义和几何意义,物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C； 即坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。 几何意义：C转角 D挠度 (4)建立转角方程和挠曲线方程； (5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 和 及其所在截面。,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,例题 悬臂梁受力如图所示。求 和 。,取参考坐标系Axy。,解：,1、列出梁的弯矩方程,2、,积分一次：,积分二次：,（1）,（2）,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,3、确定常数C、D.,由边界条件：,代入（1）得：,代入（2）得：,代入（1）（2）得：,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,（与C比较知： ）,（与D比较知： ）,常数C表示起始截面的转角刚度(EI),因此,常数D表示起始截面的挠度刚度(EI),第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,例题 一简支梁受力如图所示。试求 和 。,解：,1、求支座反力,2、分段列出梁的弯矩方程,BC段,AC段,B,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,BC段,AC段,3、确定常数,由边界条件：,（1）,（2）,由光滑连续条件：,（3）,（4）,可解得：,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,则简支梁的转角方程和挠度方程为,BC段,AC段,4、求转角,代入得：,代入得：,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,5、求 。,求得 的位置值x。,则由,解得：,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,代入 得：,若 则：,在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外）， 可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁的 、 、 、 ：,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,分段建立弯矩方程： AB段：,（0x1 ),BC段：,（,）,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,二、分段建立近似微分方程，并对其积分两次： AB段：,即：, （1）, （2）,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,BC段：, （3）,（4）,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,三、利用边界条件、连续条件确定积分常数 由边界条件确定C1、D1： 当 当,时，,由（1）式得 C1=0 ；,时，,由（2）式得 D1=0 。 由连续条件确定C2、D2：,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,当,时，,即联立(1) 、(3)式子：,，,当,时，,，即联立(2)、(4)式：,即得：D2=0,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,四、分段建立转角方程、挠曲线方程： AB段：, （5）, （6） BC段：,（7）,（8）,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,五求梁指定截面上的转角和挠度 当,时，由（5）式得，,由（6）式得，,当,时，由（7）式得，,由（8）式得，,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,叠加法前提,小变形,力与位移之间的线性关系,挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系,轴向位移忽略不计。,2、叠加法简捷方法,须记住梁在简单荷载作用下的变形挠曲线方程、转角、挠度计算公式。,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,叠加法的两种处理方法： （1）荷载叠加：,叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。,第八章 弯曲变形 /三、计算弯曲变形的两种方法,例题 怎样用叠加法确定C和 wC ?,（2）逐段刚化法：,例题:试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由端C 的挠度,由于梁的抗弯刚度EI 在B 处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。,由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变形而移位到 的位置，使C点有相应的挠度,将图（b）和（c）两种情况的变形叠加后，即可求得自由端 C 的挠度,这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。,例题:用叠加法求AB梁上E处的挠度,wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2,wB=?,wB= wB1,+wB2,+ wB3,WB2=CC,WB3=CC,第八章 弯曲变形,四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施,刚度条件：,w许用挠度，许用转角,工程中， w常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如：,对于桥式起重机梁：,对于一般用途的轴：,在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：,第八章 弯曲变形 /四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施,梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：,材料梁的变形与弹性模量E成反比；,截面梁的变形与截面的惯性矩 成反比；,跨长梁的变形与跨长l的n次幂成正比,第八章 弯曲变形 /四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施,(1)减小跨度，增加支座，或加固支座。,例如受q作用的简支梁：,方法：,增加支座：,第八章 弯曲变形 /四、刚度条件 提高梁弯曲刚度的措施,加固支座：,(2)选用合理截面， 。,常采用工字形、箱形截面，以提高惯性矩。与强度不同的是要 提高全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。,(3)合理安排载荷作用点，以降低 。,方法：,使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担。例如：,(4)其它：因钢的E基本相同，所以材料的杨氏模量对 变形影响不大。,第八章 弯曲变形,五、用变形比较法解简单超静定梁,1、超静定的概念 2、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想： (1)解除多余约束，变超静定梁为静定梁； (2)用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程； (3)通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。 3、简单超静定梁求解举列。,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,超静梁未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目， 仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或 静不定问题）。,超静次数=未知力的数目- 独立平衡方程数,4个约束反力，,3个平衡方程，,静不定次数=1,1、超静定的概念,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,2 、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：,(1) 确定超静定次数。,(2) 选择基本静定梁。,静定梁(基本静定基) 将超静定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。,多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。,多余约束的数目=超静定次数,多余约束的数目=1,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,静定梁(基本静定基)选取,(2)解除A端阻止转动的支座反力矩 作为多余约束,即选择两端简支的梁作为基本静定梁。,A,(1)解除B支座的约束,以 代替，即选择A端固定B端自由的悬臂梁作为基本静定梁。,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,(2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条 件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。,基本静定基选取可遵循的原则：,(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,A,3、列出变形协调条件。,比较原静不定梁和静定基在解除约 束处的变形，根据基本静定梁的一 切情况要与原超静定梁完全相同的 要求，得到变形协调条件。,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,本例： (1),4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。,仅有q作用，B点挠度为：,仅有 作用，B点挠度为：,因此,解得:,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。,本例： (1),第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,因此,6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,例题 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。,1、选择基本静定梁。,解：,2、列出变形协调条件。,而,（1）,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,解得：,代入（1）：,3、在基本静定梁上由叠加法求 。,在F力单独作用下：,在 力单独作用下：,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,解得：,在本例中，在F力作用下，拉杆BD伸长，因而B处下 移， B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即,第八章 弯曲变形 /五、用变形比较法解简单超静定梁,例题 图示结构，悬臂梁AB与简支梁DG均用No.18工字钢制成,BC 为圆截面钢杆,直径d=20cm,