材料力学13章7-8莫尔积分.ppt

,一、推导：,13-7 单位载荷法-莫尔积分,方式一：,先加,再加,方式二：,同时加,同理：,二、莫尔积分的应用：,1、计算梁发生弯曲变形的位移：,2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：,3、计算圆轴发生扭转变形的位移：,4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：,5、计算桁架节点位移：,6、计算结构组合变形的位移：,三、莫尔积分的应用范围：,线弹性结构,四、,的符号的含义：,1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同,2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反,用莫尔积分计算的步骤：,1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程,2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷即：求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。 求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。,3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程,4、将同一段的同一种内力方程相乘积分,注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证内力方程分段相同，并且每段自变量的基准点相同,求C点铅垂位移,思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?,组合变形时的莫尔积分：,所以：,其中:,为单位载荷引起的弯矩，,注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。,六、莫尔积分的例题,1、计算梁发生弯曲变形的位移：,求:C点铅垂方向的位移 和B点转角,莫尔积分的应用范围： 线弹性结构,2)列原载荷引起的内力方程:,3)施加单位载荷:,4)列单位载荷引起的内力方程:,5) 同一段的同一种内力相乘积分,解: 求 1)求约束反力: 为此取AB 为研究对象,的正、负号的含义：,1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同,2、：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反,求,例2：试求P力作用下，A点的竖直位移,分析：,因为力与轴线位于同一平面,所以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩,解：,2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:,3)由莫尔积分求 :,3、计算桁架节点位移：,解：,1)列原载荷引起的内力方程:,例3：图示简单桁架，各杆 长度均为 ，且EA相同， 试求B、D两节点的相对位 移。,2)施加单位载荷:,3)列单位载荷引起的内力方程:,4)由莫尔积分求 :,4、计算结构组合变形的位移：,例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A 点的铅垂位移与B点的转角,解：,1)列原载荷引起的内力方程:,2)列单位载荷引起的内力方程:,设,3) 同一段的同一种内力相乘积分,若横截面是边长为b的正方形， 时，上述比值为：,例5: 轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷:,4)积分计算位移,3)列单位载荷引起的内力方程:,2)列原载荷引起的内力方程:,3)列单位载荷引起的内力方程:,解: 1)求约束反力,例:变截面梁如图所示, 已知：P，a，EI1，EI2。求：D点的垂直位移.,3)列单位载荷引起的内力方程:,4) 同一段的同一种内力相乘积分,解: 1)由于对称，只计算一半,例:平面刚架如图所示, 已知：P，a，EI。求：AF两点的相对位移.,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,2)原载荷引起的内力方程:,3)单位载荷引起的内力方程:,分析：研究角度对应的截面的弯矩。先考虑内部弧段的合弯矩,计算均布外压小曲率曲梁弯曲变形的A点竖直位移yA：,2)A点施加向下的单位力,引起的内力方程:,3)由莫尔积分求yA,一、推导：,，若EI为常量，则公式可变形为：,13-8 计算莫尔积分的图乘法,(1)二次抛物线：,(2)二次抛物线：,为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标,三、应用图乘法的注意事项：,原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正,原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负,3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段,5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，,注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：,的折点；,图是否需要划分为若干简单图形；,(2) EI是否阶梯变化；,即:,例5：求,解：1、画原载荷引起的内力图,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘方法（1）,5、图乘方法（2）,M图,图,注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，,是单位载荷引起内力图的面积,是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标,二、图乘法的应用：,1、计算梁发生弯曲变形的位移：,2、计算圆轴发生扭转变形的位移：,3、计算杆发生轴向拉压变形的位移：,4、计算结构组合变形的位移：,求:C点铅垂方向的位移 和B点转角,解：1、画原载荷引起的内力图：,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘：,例2：用图乘法求,解：1、画原载荷引起的内力图：,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘：,（图1）,（图2）,6、画单位载荷引起的内力图,7、图乘：,求：1. A 端的铅垂位移；,2. A端绕BC 轴线（X轴）的转角。,X,3、画单位载荷引起的内力图,2、求A 端的铅垂位移 施加单位载荷,解求 ： 1、画原载荷引起的内力图,4、图乘：,2、求A点绕BC轴转角 施加单位载荷,3、画单位载荷引起的内力图,4、图乘：,解 求 ： 1、画原载荷引起的内力图,例3: 轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.,1)列原载荷引起的内力方程:,2)施加单位载荷:,4)积分计算位移,3)列单位载荷引起的内力方程:,例4：试求P力作用下，A点的竖直位移,分析：,因为力与轴线位于同一平面,所以在P力作用下，只有弯曲变形，即只考虑弯矩,解: 1)求约束反力画载荷引起的内力图,例:变截面梁如图所示, 已知：P，a，EI1，EI2。求：用图